Công thức

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\cos\Big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\Big)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\)

Bài tập

Bài 1. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(-1;1;0)\) và \(\overrightarrow{v}=(0;-1;0)\).

Bài 2. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để góc giữa \(\overrightarrow{u}=(2-3m;2;-6)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;3-8m;1)\) vuông góc.

Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

1. Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (với \(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
2. Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.

Bài tập

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A(3;1;2)\) và \(B(4;0;3)\).

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. \(y=3-\sin 2x\)
2. \(y=3\cos^2x-2\)
3. \(y=3-4|\cos 2x|\)
4. \(y=\dfrac{1}{2}\cos x-3\)
5. \(y=4\cos^2x-\sin^2x\)
6. \(y=\sin x + \cos x -1\)
7. \(y=\dfrac{1}{2}\sin x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\)
8. \(y=\sin^2 x -\sin x + 3\)

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số

1. \(y=f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{x-2}\)
2. \(y=f(x)=\dfrac{3x^2-1}{x+2}\)
3. \(y=f(x)=\dfrac{-x^2+x+1}{x+1}\)
4. \(y=f(x)=\dfrac{4x^2+1}{2x}\)
5. \(y=f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+2}\)
6. \(y=f(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x}\)
7. \(y=f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+1}\)
8. \(y=f(x)=x-1-\dfrac{x-1}{x^2+1}\)

Đáp số:

6 trường hợp đặc biệt

• \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x =k\pi\)
• \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\)
• \(\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi+k2\pi\)
• \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x =\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Các công thức

• \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi \\ x = \pi -\alpha + k2\pi\end{array}\right.\)
• \(\cos x = \cos \alpha \Leftr

Đây là câu tương đối khó, các em cần huy động nhiều công thức, chọn công thức phù hợp để dùng mới có thể giải được bài này.

Bài 1. Với điều kiện mẫu khác 0, chứng minh đẳng thức

\[\dfrac{1-\cos 4x}{\cos 3x\sin x-\cos x \sin x}=-2\cot x.\]

Bài 2. Với điều kiện mẫu khác 0, chứng minh đẳng thức

\[\dfrac{4-8\sin^2 2x}{\sin 4x-2\sin^2 2x}-2=(\cot x-1)(1+\tan x).\]

Lý thuyết

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\)
2. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) là \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
3. Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\).
4. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1\), \(AD=2\), \(AA'=3\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) sao cho gốc \(O\) trùng với \(A\), tia \(Ox\) trùng với tia \(AB\), tia \(Oy\) trùng với tia \(AD\), tia \(Oz\) trùng với tia \(AA'\). Tìm toạ độ của các điểm \(A\), \(C\), \(D'\) và các vector \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{A'C}\), \(\overrightarrow{BD'}\).

Bài 3 (CTST trang 106) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((SAB).\)

2. Lấy một điểm \(M\) trên đoạn \(SA\) (\(M\) khác \(S\) và \(A\)), mặt phẳng \((BCM)\) cắt \(SD\) tại \(N\). Tứ giác \(CBMN\) là hình gì?

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y=f(x)\) cho bởi

1. \(f(x)=\sin x\)
2. \(f(x)=\cot 3x\)
3. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\)
4. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x -2}\)
5. \(f(x)=\sqrt{9-\sin x}\)
6. \(f(x)=\sqrt{1-\sin 2x}\)
7. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt{2-2\cos x}}\)
8. \(f(x)=\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{3-\cos x}}\)