Bài 1. Tính các giới hạn sau

1. \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}\) 
2. \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\sqrt{2x+6}-2}{2x^2-x-3}\)
3. \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{2x-1}-x}{x^4-1}\)
4. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{x-a}\)
5. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3-a^3}{x-a}\)

Bài 2. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x}\). Tính \(\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}.\)

Bài 3. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x}\). Tính \(\lim\limits_{t\to x}\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x},\) với \(x>0.\)

Các cách tính góc giữa hai vectơ trong không gian

1. Dùng định nghĩa xác định góc giữa hai vectơ trên hình, dùng các kiến thức hình học phẳng để tính góc đó (định lý cosin, định lý sin, tỉ số lượng giác, ...)
2. Tính góc giữa hai vectơ thông qua tích vô hướng
   \[\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\]

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và \(\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(O\) tuỳ ý. Xác định điểm $A$ sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\), xác định điểm \(B\) sao cho \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Khi đó góc \(\widehat{AOB}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).

Ví dụ dãy số có giới hạn 0

Trước khi học định nghĩa giới hạn của dãy số, ta xét ba dãy số cụ thể sau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có 3 trường hợp xảy ra giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P).\)

• \(a\) nằm trong \((P)\): Mọi điểm thuộc \(a\) đều là điểm chung của \(a\) và \((P)\).
• \(a\) cắt \((P)\) tại một điểm chung duy nhất \(M\).
• \(a\) và \((P)\) không có điểm chung.

Định nghĩa

Đường thẳng \(a\) được gọi là song song với mặt phẳng \((P)\) nếu \(a\) và \((P)\) không có điểm chung, kí hiệu \(a \parallel (P).\)

Bài 1. Một người lên kế hoạch để đọc một cuốn sách có 256 trang như sau: ngày thứ nhất đọc 1 trang sách, từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó. Xét tính đúng sai của mỗi ý sau.

1. Ngày thứ 5, người đó đọc 16 trang sách.

2. Số trang sách người đó đọc theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

3. Số trang sách người đó đọc trong ngày thứ sáu bằng tổng số trang sách đã đọc trong năm ngày trước đó. 

Bài 1. Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2 ; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Tính tổng số ô trên tổ ong biết nó có 21 vòng.

Đáp số: 1387 ô

Bài 1. Một bánh xe quay theo chiều dương được 5 vòng trong 8 giây. Trong 3 giây bánh xe quay được một góc lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

Bài 2. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11rad/s. Ban đầu van nằm ở vị trí A là điểm trên bánh xe sao cho OA vuông góc với phương thẳng đứng. Biết bán kính OA=58cm. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Bài 1. Cho ba số có tổng là 3 lập thành cấp số cộng với công sai khác 0, nếu thêm 3 đơn vị vào số thứ nhất, thêm 1 đơn vị vào số thứ hai đồng thời giữ nguyên số thứ ba ta được cấp số nhân. Tìm tích ba số ban đầu.

Gợi ý: 

Ông A gửi 100 triệu đồng với lãi suất 1% một tháng với dự tính sau 5 năm rút hết cả gốc lẫn lãi để cho con đi học đại học. Biết rằng sau mỗi tháng tiền lãi được cộng dồn vào tiền gốc. Hỏi đến thời điểm gửi được 5 năm rút cả gốc lẫn lãi được bao nhiêu tiền?