Bài 1. Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2 ; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Tính tổng số ô trên tổ ong biết nó có 21 vòng.

Đáp số: 1387 ô

Bài 1. Một bánh xe quay theo chiều dương được 5 vòng trong 8 giây. Trong 3 giây bánh xe quay được một góc lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

Bài 2. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11rad/s. Ban đầu van nằm ở vị trí A là điểm trên bánh xe sao cho OA vuông góc với phương thẳng đứng. Biết bán kính OA=58cm. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Bài 1. Cho ba số có tổng là 3 lập thành cấp số cộng với công sai khác 0, nếu thêm 3 đơn vị vào số thứ nhất, thêm 1 đơn vị vào số thứ hai đồng thời giữ nguyên số thứ ba ta được cấp số nhân. Tìm tích ba số ban đầu.

Gợi ý: 

Ông A gửi 100 triệu đồng với lãi suất 1% một tháng với dự tính sau 5 năm rút hết cả gốc lẫn lãi để cho con đi học đại học. Biết rằng sau mỗi tháng tiền lãi được cộng dồn vào tiền gốc. Hỏi đến thời điểm gửi được 5 năm rút cả gốc lẫn lãi được bao nhiêu tiền?

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là

trung điểm của BC,CD,SO. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD).

b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \((u_n)\) biết

1. \(u_2=3\), \(u_5=9\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}u_1+u_4=-2 \\u_2+u_5=-6\end{array}\right.\)

Ví dụ 2. Tính \(S=5+10+15+\cdots+100.\)

Ví dụ 3. Tính theo \(n\) các biểu thức

1.  \(A=1+2+3+\cdots+n\)
2.  \(B=1+3+5+\cdots+(2n-1)+(2n+1)\)

Ví dụ 4. Tìm công sai của cấp số cộng biết số hạng thứ ba là \(-2\) và tổng của 8 số hạng đầu là \(-40\).

Định nghĩa

Cấp số cộng là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng luôn bằng tổng của số hạng liền trước với một số  \(d\) không đổi. Số \(d\) đó gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ dãy số \(4;1;-2;-5;\ldots\) là cấp số cộng có công sai \(d=-3.\)

Một cấp số cộng hoàn toàn được xác định khi biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d.\)

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A(4;-3;2)\), \(B(-1;5;7)\), \(C(0;4;-2)\).

1.  Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), tìm toạ độ của \(M\).
2. Gọi \(G\) là trọng tam tam giác \(ABC\), tìm toạ độ của \(G\).
3. Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AN=2NC\). Tìm toạ độ của \(N\).

Hướng dẫn và đáp số:

(CTST) Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của \(A\) trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10 \sin\left( 10t+\dfrac{\pi}{2}\right).\) Vào các thời điểm nào thì \(s =–5\sqrt{3}\) cm?

Công thức

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\cos\Big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\Big)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\)

Bài tập

Bài 1. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(-1;1;0)\) và \(\overrightarrow{v}=(0;-1;0)\).

Bài 2. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để góc giữa \(\overrightarrow{u}=(2-3m;2;-6)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;3-8m;1)\) vuông góc.