Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(M(2;2;-1)\) đến mặt phẳng \((P): x+2y-2z-12=0\).

Bài 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

1. \((P): 6x+3y+2z-1=0\) và \((Q): x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{3}z+8=0\).
2. \((P): x+2y-2z-16=0\) và \((Q): x+2y-2z-1=0\).
3. \((P): x+2y+3z-1=0\) và \((Q): x+2y+3z+6=0\).

Bài 3. Tìm trên trục \(Oz\) điểm \(M\) cách đều điểm \(A(2;3;4)\) và mặt phẳng \((P): 2x+3y+z-17=0\).

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;1;0)\) và cắt mặt phẳng \((P): x+y+z+1=0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r=2\).

Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng \((P): 3x+y+2z+1=0\) và mặt cầu \((S): (x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=14\).

Bài 3. Cho mặt phẳng \((P): x-2y+2z+24=0\) và mặt cầu \((S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(3;-1;4)\) biết \((P)\) song song với \((Q): 2x-y+z+3=0\).

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với \((Q): x-2y-2z+3=0\) và cách \((Q)\) một khoảng bằng \(6\).

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+5=0\) và song song với mặt phẳng \((P): 2x-y+2z-11=0\).

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu tâm \(I(1;2;3)\) biết nó tiếp xúc với mặt phẳng \(x-2y+2z+3=0\).

Dựng đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(A\) và mặt phẳng \((P)\). Làm thế nào để dựng đoạn thẳng \(AH \perp (P)\)?

Cách dựng:

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\Delta\) là \[\mathrm{d}(A, \Delta)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.\]

Bài tập

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(A(3;1;0)\) đến đường thẳng \(\Delta: \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{z}{2}\).

Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) là

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(AB=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\).

Ví dụ 2. Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(AB=a\), \(SA=a\sqrt{2}\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Lý thuyết

Tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong \((C)\) và điểm \(M_0\) thuộc \((C)\). Lấy một điểm \(M\) thay đổi trên \((C)\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua hai điểm \(M_0\) và \(M\). Khi cho điểm \(M\) dần về điểm \(M_0\) rồi dừng lại thì đường thẳng \(d\) quay quanh \(M_0\) và dừng lại ở vị trí trùng tới đường thẳng \(d_0\). Đường thẳng \(d_0\) gọi là tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(M_0\). Điểm \(M_0\) gọi là tiếp điểm.

Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Cho hai véctơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\), vectơ $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi $\overrightarrow{n}=\left(\left|\begin{array}{ll}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|\right)$ gọi là vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $[\vec{a},

Bài 1. Cho các đường thẳng \(d_1: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}\) và điểm \(A(1;2;3)\). Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) biết \(\Delta\) qua \(A\), vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\).

Bài 2. Cho điểm \(M(2;1;0)\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\). Phương trình của \(\Delta\) là \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z}{1}\) là đúng hay sai?