Nguyên hàm và tích phân trong bài toán chuyển động

Đạo hàm

Cho chất điểm $M$ chuyển động trên trục $x'Ox$ với biểu thức toạ độ (li độ) của $M$ trên trục $Ox$ là $s(t)$.

Biểu thức vận tốc theo thời gian là $v(t)=s'(t)$ (vận tốc là đạo hàm của li độ).
Biểu thức gia tốc theo thời gian $t$ là $a(t)=v'(t)$

Nguyên hàm

Nếu chất điểm $M$ chuyển động trên trục $Ox$ với biểu thức gia của $M$ trên trục $Ox$ là $a(t)$ thì

Biểu thức vận tốc theo thời gian là $v(t)=\displaystyle\int a(t)\mathrm{d}t$.
Biểu thức toạ độ của $M$ theo thời gian là $s(t)=\displaystyle\int v(t)\mathrm{d}t$.

Chú ý

Toạ độ (li độ) của vật có thể dương hoặc âm. Toạ độ của vật dương khi vật ở trên tia $Ox$, toạ độ âm khi vật ở trên tia $Ox'$.
Vận tốc có thể dương hoặc âm. Vận tốc dương khi vật đang chuyển động theo chiều dương, vận tốc âm khi vật đang chuyển động theo chiều âm, vận tốc bằng 0 khi vật đứng yên.
"Tốc độ" của vật là giá trị tuyệt đối của vận tốc, hay độ lớn của vận tốc. Như vậy tốc độ không âm.
Gia tốc của vật dương khi vận tốc đang tăng, gia tốc âm khi vận tốc đang giảm, gia tốc bằng 0 khi vật đang giữ nguyên vận tốc.
Độ dịch chuyển của vật từ thời điểm $t_1$ đến thời điểm $t_2$ là $d=s(t_2)-s(t_1)$. Độ dịch chuyển có thể dương hoặc âm và cũng có thể bằng 0.
Quãng đường đi được từ thời điểm $t_1$ đến thời điểm $t_2$ là $S=\displaystyle_{t_1}^{t_2}\int\left|v(t)\right|\mathrm{d}t$. Quãng đường thì không âm.
Độ dịch chuyển từ thời điểm $t_1$ đến thời điểm $t_2$ là $d=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}v(t)\mathrm{d}t$.

Minh hoạ

Cho vật dao động điều hoà trên trục $Ox$ với biểu thức li độ theo thời gian là \(s(t)=A\cos\left(2\pi T\right).

Toạ độ của vật lúc $t=0$ là $A$, toạ độ của vật lúc $t=\dfrac{T}{4}$ là 0.
Độ dịch chuyển từ lúc $t=0$ đến lúc $t=\dfrac{\pi}{4}$ là $d=0-A=-A.$
Quãng đường đi được từ lúc $t=0$ đến lúc $t=\dfrac{\pi}{4}$ là $S=A$. Trường hợp vật đổi chiều chuyển động nhiều lần thì biểu thức quãng đường phức tạp nha các em! Lúc đó phải là tích phân của giá trị tuyệt đối của vận tốc.

Bài tập

Ví dụ 1. Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+30$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ giây kể từ lúc đạp phanh. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Vận tốc di chuyển của xe trước khi đạp phanh là $20$ m/s.
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là 5 giây.
Công thức biểu diễn hàm số $s(t)$ là $s(t)=-5t^2+30t$
Quãng đường ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là $65$ m.

Bài 1. Vật dao động điều hoà trên trục $x'Ox$ với biểu thức li độ theo thời gian là $s(t)=2\cos(t)$.

Tính toạ độ của vật tại các thời điểm $t=0$, $t=\dfrac{\pi}{2}$, $t=\dfrac{\pi}{3}$.
Tính độ dịch chuyển của vật từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=\dfrac{\pi}{3}$.

Bài 1. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng trên trục $Ox$ với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi $v(t)=\dfrac{1}{120}t^2+\dfrac{58}{45}t$ (m/s), trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 3 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a$ (m/s) ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng bao nhiêu?

Đáp số: 30 m/s

Bài 2. Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_0$, sau 6 giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động $v(t)=−\dfrac{5}{2}t+a$ (m/ s), ($t≥6$) cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì ô tô đi được quãng đường là 80m. Tìm $v_0$.

Đáp số: 10 m/s