Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Cho hai véctơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\), vectơ $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi $\overrightarrow{n}=\left(\left|\begin{array}{ll}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|\right)$ gọi là vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $[\vec{a},

Bài 1. Cho các đường thẳng \(d_1: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}\) và điểm \(A(1;2;3)\). Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) biết \(\Delta\) qua \(A\), vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\).

Bài 2. Cho điểm \(M(2;1;0)\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\). Phương trình của \(\Delta\) là \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z}{1}\) là đúng hay sai?

Bài 1. Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả cạnh bằng \(a\). Tính góc giữa hai đường thẳng

1. \(AB'\) và \(A'C'\)
2. \(AB'\) và \(BC'\)

Công thức thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp là \(V=\dfrac{1}{3}S_d\cdot h\), trong đó
\(S_d\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp

Bài tập

Bài 1. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\).

Bài 2. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABC\) biết cạnh đáy bằng \(2\) và cạnh bên bằng \(\sqrt{3}\) (đơn vị độ dài).

Bài 3. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh đáy bằng \(a\).

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\), đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\) và \([S,BD,A]\).

Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\), góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\).

Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(SC=a\sqrt{5}\).

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số

1. $y=x^3+\dfrac{1}{3}x^6+1$
2. $y=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{1}{x}$
3. $y=5x+\sqrt{x}$
4. $y=x^4(x-1)^3$
5. $y=\dfrac{x^3+3x^2}{3}$
6. $y=x(x-1)^3$
7. $y=(x-1)(2x-3)^4$

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=(2x+1)^3\)
2. \(y=(1-x)^4\)
3. \(y=(x-1)^4\)
4. \(y=x^3(2x-1)^2\)
5. \(y=(x^2+1)^{10}\)
6. \(y=\dfrac{(1-3x)^4}{3}\)
7. \(y=\dfrac{x^2}{2}+x-3\)
8. \(y=\dfrac{(x-1)^{12}}{12}+\dfrac{(x-1)^{11}}{11}\)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\sqrt{2x}\)
2. \(y=\sqrt{x^2+1}\)
3. \(y=x\sqrt{x}\)
4. \(y=(x+1)\sqrt{x}\)
5. \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\)
6. \(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}\)
7. \(y=x\sqrt{3x+1}\)
8. \(y=(1-x^2)\sqrt{x^2+1}\)
9. \(y=(x\sqrt{x}+1)(x^2+1)\)
10. \(y=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}\)
11. \(y=\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}\)
12. \(y=\dfrac{4-\sqrt{x}}{4+\sqrt{x}}\)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{x^2+3x-1}{x+3}\)
2. \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\)
3. \(y=\dfrac{3x^2+x+2}{2x+1}\)
4. \(y=\dfrac{1}{2x}\)
5. \(y=\dfrac{1}{2x^2}\)
6. \(y=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\)
7. \(y=2x+3-\dfrac{2}{3x-1}\)
8. \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)
9. \(y=\left(\dfrac{x}{2x-1}\right)^2\)
10. \(y=\dfrac{x^3+1}{x^2+1}\)
11. \(y=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}\)
12. \(y=\dfrac{x^3+x}{x^4+1}\)
13. \(y=\dfrac{x^2-x\sqrt{2}+1}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Bài 1. Tính góc giữa đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P): -8x-2y+7z+3=0\).

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \left\{\begin{array}{l} x = 1+t \\ y=2-2t \\ z=-t \end{array}\right.\) và \(d_2: \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y= 3+t \\ z=4+2t \end{array}\right.\).

Bài 3. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(5;-2;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;1;-4)\).

Bài 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P): 9x+4y+z+1=0\) và \((Q): -5x-5y+2z+3=0\).

Phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài tập

Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau: