Định nghĩa

Đường thẳng $d$ gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$.

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ta chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ nằm trong $(P)$.

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA \perp (ABCD)\).

Bài 1. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các mặt là hình vuông. Tính góc giữa các đường thẳng

1.  \(AB\) và \(AC.\)
2. \(AB\) và \(C'C.\)
3. \(AB\) và \(B'D'.\)
4. \(AC\) và \(B'D'.\)
5. \(A'B\) và \(B'C.\)

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ có bốn mặt là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa

1. $MC$ và $MD$
2. $MC$ và $BD$.

Bài 1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((P): 3x-y+z-1=0\) và \((Q): -6x+2y-2z+1=0\) song song với nhau.

Cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) làm vectơ pháp tuyến. Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) là \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

WPF tab control

https://cuongit.net/wpf-huong-dan-tao-menu-quan-ly-nhieu-bang-thong-tin/

https://www.c-sharpcorner.com/UploadFile/prathore/tab-control-in-wpf/

WPF OpenFolderDialoge

Require .Net 8 or newer

https://startdebugging.net/2023/10/wpf-open-folder-dialog/

Công thức

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A)\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\) là
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Bài tập

Bài 1. (Bài 5 trang 64 CTST) Cho ba điểm \(A(3;3;3)\), \(B(1;1;2)\), \(C(5;3;1)\).

1.  Tìm toạ độ điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho \(M\) cách đều hai điểm \(B, C\).
2. Tìm toạ độ điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) cách đều ba điểm \(A, B, C\).

Bài 1. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

1. Chứng minh $(BDA') \parallel (B'D'C)$
2. Đường thẳng $AC'$ cắt hai mặt phẳng ở câu trên lần lượt tại $I, J$. Chứng minh \(AI=IJ=JC'\).

Bài 2. Chứng minh 4 đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

Định lý 2. (SGK)

Định lý 3. (SGK)

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là trung điểm $SA$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ đồng thời $(P) \parallel (SBC)$. Tìm giao tuyến của $(P)$ với các mặt phẳng $(ABCD)$, $(SAB)$, $(SAD)$, $(SCD)$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với $(SCD)$. Tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt phẳng $(ABCD)$, $(SAD)$, $(SBC)$, $(SAB)$.

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA, CD$. Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC).$

Ví dụ 2. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

1. Chứng minh $(BDA') \parallel (B'D'C)$.
2. Chứng minh bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3. Gọi $H$, $K$ lần lượt là giao điểm của $AC'$ với $(BDA')$ và $(B'D'C)$. Chứng minh $AH=HK=KC'$.