Công thức thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp là \(V=\dfrac{1}{3}S_d\cdot h\), trong đó
\(S_d\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp

Bài tập

Bài 1. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\).

Bài 2. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABC\) biết cạnh đáy bằng \(2\) và cạnh bên bằng \(\sqrt{3}\) (đơn vị độ dài).

Bài 3. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh đáy bằng \(a\).

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\), đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\) và \([S,BD,A]\).

Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\), góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\).

Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(SC=a\sqrt{5}\).

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số

1. $y=x^3+\dfrac{1}{3}x^6+1$
2. $y=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{1}{x}$
3. $y=5x+\sqrt{x}$
4. $y=x^4(x-1)^3$
5. $y=\dfrac{x^3+3x^2}{3}$
6. $y=x(x-1)^3$
7. $y=(x-1)(2x-3)^4$

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=(2x+1)^3\)
2. \(y=(1-x)^4\)
3. \(y=(x-1)^4\)
4. \(y=x^3(2x-1)^2\)
5. \(y=(x^2+1)^{10}\)
6. \(y=\dfrac{(1-3x)^4}{3}\)
7. \(y=\dfrac{x^2}{2}+x-3\)
8. \(y=\dfrac{(x-1)^{12}}{12}+\dfrac{(x-1)^{11}}{11}\)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\sqrt{2x}\)
2. \(y=\sqrt{x^2+1}\)
3. \(y=x\sqrt{x}\)
4. \(y=(x+1)\sqrt{x}\)
5. \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\)
6. \(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}\)
7. \(y=x\sqrt{3x+1}\)
8. \(y=(1-x^2)\sqrt{x^2+1}\)
9. \(y=(x\sqrt{x}+1)(x^2+1)\)
10. \(y=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}\)
11. \(y=\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}\)
12. \(y=\dfrac{4-\sqrt{x}}{4+\sqrt{x}}\)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{x^2+3x-1}{x+3}\)
2. \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\)
3. \(y=\dfrac{3x^2+x+2}{2x+1}\)
4. \(y=\dfrac{1}{2x}\)
5. \(y=\dfrac{1}{2x^2}\)
6. \(y=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\)
7. \(y=2x+3-\dfrac{2}{3x-1}\)
8. \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)
9. \(y=\left(\dfrac{x}{2x-1}\right)^2\)
10. \(y=\dfrac{x^3+1}{x^2+1}\)
11. \(y=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}\)
12. \(y=\dfrac{x^3+x}{x^4+1}\)
13. \(y=\dfrac{x^2-x\sqrt{2}+1}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Bài 1. Tính góc giữa đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P): -8x-2y+7z+3=0\).

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \left\{\begin{array}{l} x = 1+t \\ y=2-2t \\ z=-t \end{array}\right.\) và \(d_2: \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y= 3+t \\ z=4+2t \end{array}\right.\).

Bài 3. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(5;-2;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;1;-4)\).

Bài 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P): 9x+4y+z+1=0\) và \((Q): -5x-5y+2z+3=0\).

Phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài tập

Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

Cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).

Định nghĩa

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$, $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$, $SA=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa

1. $SB$ và $(ABCD)$
2. $SC$ và $(ABCD)$
3. $SC$ và $(SAB)$
4. $AC$ và $(SBD)$

Bài tập

Bài 10. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \perp (ABC)\) và \(SB=a\sqrt{5}\). Gọi \(M\) là trung điểm  của \(BC\). Tính góc giữa \(SM\) và \((SAC)\).

Phương pháp

Ta cần nhớ lại các công thức đạo hàm:

• \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\)
• \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

Từ đó nếu hàm \(f(x)\) thoả mãn \(\dfrac{-f'(x)}{\left[f(x)\right]^2}=h(x)\) thì \(f(x)=\displaystyle\int h(x)\mathrm{d}x\).

Bài tập

Bài 1. Cho hàm số \(f(x)\) thoả \(f(2)=-\dfrac{1}{5}\) và \(f'(x)=x^3\left[f(x)\right]^2 \; \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f(1)\).

Đáp số: \(-\dfrac{4}{5}\).