Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\), \(SA \perp (ABCD)\). Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:

1. \((SAD)\) và \((SAB)\)
2. \((SAD)\) và \((SAC)\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:

Bài 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M(4;2;1)\), \(N(0;0;3)\), \(Q(2;0;1)\). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \(OQ\) và cách đều hai điểm \(M\), \(N\).

Đáp số: \(x+2y-2z=0\) hoặc \(x-4y-2z=0\).

Gợi ý: Gọi mặt phẳng là \((\alpha)\)  và có vectơ pháp tuyến là \((a;b;c)\). Dùng mặt phẳng đi qua \(O\) và \(Q\) để loại bỏ 2 tham số, còn lại 2 tham số \(a, b\). Dùng \(d(M,(\alpha))=d(M,(\alpha)\) để rút \(b\) theo \(a\) rồi thế vào phương trình, rút gọn \(a\) được kết quả.

Đạo hàm

Cho chất điểm \(M\) chuyển động trên trục \(x'Ox\) với biểu thức toạ độ (li độ) của \(M\) trên trục \(Ox\) là \(s(t)\).

• Biểu thức vận tốc theo thời gian là \(v(t)=s'(t)\) (vận tốc là đạo hàm của li độ).
• Biểu thức gia tốc theo thời gian \(t\) là \(a(t)=v'(t)\)

Nguyên hàm

Nếu chất điểm \(M\) chuyển động trên trục \(Ox\) với biểu thức gia của \(M\) trên trục \(Ox\) là \(a(t)\) thì

Chú ý

• Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến.
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là vectơ chỉ phương của mặt phẳng kia.

Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) biết

Tính

Định nghĩa

Đường thẳng $d$ gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$.

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ta chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ nằm trong $(P)$.

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA \perp (ABCD)\).

Bài 1. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các mặt là hình vuông. Tính góc giữa các đường thẳng

1.  \(AB\) và \(AC.\)
2. \(AB\) và \(C'C.\)
3. \(AB\) và \(B'D'.\)
4. \(AC\) và \(B'D'.\)
5. \(A'B\) và \(B'C.\)

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ có bốn mặt là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa

1. $MC$ và $MD$
2. $MC$ và $BD$.

Bài 1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((P): 3x-y+z-1=0\) và \((Q): -6x+2y-2z+1=0\) song song với nhau.

Cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) làm vectơ pháp tuyến. Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) là \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng