Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bài 1. Cho các số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh
\[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{3a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b+a}}\right)\le 2\]

Bài 1. Cho $0<x<2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{8}{x}.\)

Lý thuyết

Trong không gian \(Oxyz\), hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) vuông góc khi và chỉ khi \[a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\]

Bài tập

Bài 1. Tìm số thực \(m\) sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;-2;3)\) và \(\overrightarrow{b}=(m;m-1;1)\) vuông góc.

Bài 2. Cho hai điểm \(A(-1;1;2)\) và \(B(3;1;2)\). Tìm toạ độ điểm \(C\) thuộc trục \(Oy\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).

Lý thuyết

Định lý Pitago thuận

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Định lý Pitago đảo

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lý thuyết

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số có dạng \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

Dưới đây là một số chú ý về số chính phương

1. Chứng minh rằng số chính phương chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
2. Tìm số tự nhiên n sao cho $2^n+15$ là số chính phương.
3. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+4$ là số chính phương.
4. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+444$ là số chính phương.
5. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+63$ là số chính phương.

Bài 1.  Trong một lô bóng đèn có 20% số bóng do phân xưởng I sản xuất. Số bóng còn lại do phân xưởng II sản xuất. Người ta nhận thấy có 2% số bóng trong lô hàng không đạt chất lượng. Biết rằng trong các bóng do phân xưởng I sản xuất, tỉ lệ bóng không đạt chất lượng là 1% . Chọn ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ lô hàng. Biết rằng bóng được chọn không đạt chất lượng, tính xác suất bóng đó do phân xưởng II sản xuất.

Lý thuyết

Cho vật chuyển động trên trục \(x'Ox\) có phương trình (biểu thức toạ độ của vật trên trục đó theo thời gian \(t\)) là \(x=x(t)\). Khi đó

Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Nếu đường thẳng \(\Delta\) vừa cắt vừa vuông góc với cả \(a\) và \(b\) thì \(\Delta\) được gọi là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\).

Người ta chứng minh được có duy nhất một đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Nếu \(\Delta\) cắt \(a\) tại \(M\) và cắt \(b\) tại \(N\) thì đoạn thẳng \(MN\) gọi là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\)

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(M(2;2;-1)\) đến mặt phẳng \((P): x+2y-2z-12=0\).

Bài 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

1. \((P): 6x+3y+2z-1=0\) và \((Q): x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{3}z+8=0\).
2. \((P): x+2y-2z-16=0\) và \((Q): x+2y-2z-1=0\).
3. \((P): x+2y+3z-1=0\) và \((Q): x+2y+3z+6=0\).

Bài 3. Tìm trên trục \(Oz\) điểm \(M\) cách đều điểm \(A(2;3;4)\) và mặt phẳng \((P): 2x+3y+z-17=0\).