Bài 1. Tìm tập nghiệm của hệ

Bài 1. Cho các điểm $A(3;-4)$, $B(2;-1)$, $C(-3;5)$.

1. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
2. Tìm toạ độ điểm $E$ sao cho $E$ đối xứng với $A$ qua $B$.
3. Tìm toạ độ điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$.
4. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và trục $Ox$. Tìm toạ độ của $K$.

Lý thuyết

Định lý Thales thuận

Định lý. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Giải thích cụ thể: Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $d$ song song với cạnh $BC$ và cắt hai cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$, $N$. Khi đó ta có các tỉ số bằng nhau:
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$; $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$; $\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{MC}{AC}$.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2a$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vẽ $OH$ vuông góc với $SC$ tại $H$.

1. Chứng minh $SC\perp (BHD)$.
2. Tính theo $a$ độ dài đoạn $OH$ và diện tích $\triangle BHD$.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và $D$ của tam giác $SBD$. Chứng minh $SC\perp (AEF)$.

Lý thuyết

Điều kiện hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ cùng phương khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$.

Điều kiện hai vectơ vuông góc

Hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ vuông góc khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

Lý thuyết

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ được tính bởi \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2.\]

Điều kiện hai vec tơ vuông góc

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0.\)

Độ dài của vec tơ

Bình phương vô hương của $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{a}^2=a_1^2+a_2^2.$

Lý thuyết

1. Cùng cơ số $a>1$, ta có: $a^x>a^y \Leftrightarrow x>y$
2. Cùng cơ số $0<a<1$, ta có: $a^x>a^y \Leftrightarrow x<y$
3. Cùng số mũ dương $x>0$, ta có: $a^x>b^x \Leftrightarrow a>b$
4. Cùng số mũ âm $x<0$, ta có: $a^x>b^x \Leftrightarrow a<b$

(với điều kiện các luỹ thừa có nghĩa, cơ số phải dương).

Bài tập

Bài 1. So sánh

Lý thuyết

Các bước giải phương trình dạng $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}$.

1. Bình phương hai vế
2. Giải phương trình thu được tìm $x$.
3. Thử lần lượt các giá trị $x$ tìm được vào phương trình của đề bài, nếu thoả mãn điều kiện và đồng thời hai vế bằng nhau thì nhận giá trị $x$ đó là nghiệm.

Các bước giải phương trình $\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e$ cũng tương tự.

Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình.

Lý thuyết

• Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ bằng nhau khi  $\begin{cases} b_1=a_1 \\ b_2=a_2. \end{cases}$
• Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ cùng phương khi tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$, hay $\begin{cases} b_1=ka_1 \\ b_2=ka_2.

Bài 1. Cho A(3; 1), B(4; -2), C(-3; 4)

1. C/m A, B, C không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABDC là hình bình hành.
3. Tìm tọa độ trọng tâm G của $\triangle ABC$.
4. Tìm tọa độ điểm E sao cho B là trọng tâm của $\triangle ACE$.
5. Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho A, B, N thẳng hàng.
6. Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm B qua điểm A.

Bài 2. Cho các điểm $A(-1;2)$, $B(3;-1)$, $C(4;1)$.