Dưới đây là một số chú ý về số chính phương

1. Chứng minh rằng số chính phương chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
2. Tìm số tự nhiên n sao cho $2^n+15$ là số chính phương.

Bài 1.  Trong một lô bóng đèn có 20% số bóng do phân xưởng I sản xuất. Số bóng còn lại do phân xưởng II sản xuất. Người ta nhận thấy có 2% số bóng trong lô hàng không đạt chất lượng. Biết rằng trong các bóng do phân xưởng I sản xuất, tỉ lệ bóng không đạt chất lượng là 1% . Chọn ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ lô hàng. Biết rằng bóng được chọn không đạt chất lượng, tính xác suất bóng đó do phân xưởng II sản xuất.

Lý thuyết

Cho vật chuyển động trên trục \(x'Ox\) có phương trình (biểu thức toạ độ của vật trên trục đó theo thời gian \(t\)) là \(x=x(t)\). Khi đó

Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Nếu đường thẳng \(\Delta\) vừa cắt vừa vuông góc với cả \(a\) và \(b\) thì \(\Delta\) được gọi là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\).

Người ta chứng minh được có duy nhất một đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Nếu \(\Delta\) cắt \(a\) tại \(M\) và cắt \(b\) tại \(N\) thì đoạn thẳng \(MN\) gọi là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\)

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(M(2;2;-1)\) đến mặt phẳng \((P): x+2y-2z-12=0\).

Bài 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

1. \((P): 6x+3y+2z-1=0\) và \((Q): x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{3}z+8=0\).
2. \((P): x+2y-2z-16=0\) và \((Q): x+2y-2z-1=0\).
3. \((P): x+2y+3z-1=0\) và \((Q): x+2y+3z+6=0\).

Bài 3. Tìm trên trục \(Oz\) điểm \(M\) cách đều điểm \(A(2;3;4)\) và mặt phẳng \((P): 2x+3y+z-17=0\).

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;1;0)\) và cắt mặt phẳng \((P): x+y+z+1=0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r=2\).

Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng \((P): 3x+y+2z+1=0\) và mặt cầu \((S): (x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=14\).

Bài 3. Cho mặt phẳng \((P): x-2y+2z+24=0\) và mặt cầu \((S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(3;-1;4)\) biết \((P)\) song song với \((Q): 2x-y+z+3=0\).

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với \((Q): x-2y-2z+3=0\) và cách \((Q)\) một khoảng bằng \(6\).

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+5=0\) và song song với mặt phẳng \((P): 2x-y+2z-11=0\).

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu tâm \(I(1;2;3)\) biết nó tiếp xúc với mặt phẳng \(x-2y+2z+3=0\).

Dựng đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(A\) và mặt phẳng \((P)\). Làm thế nào để dựng đoạn thẳng \(AH \perp (P)\)?

Cách dựng:

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\Delta\) là \[\mathrm{d}(A, \Delta)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.\]

Bài tập

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(A(3;1;0)\) đến đường thẳng \(\Delta: \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{z}{2}\).

Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) là

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu