Ta đã biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \([a;b].\) Cách cũ này không cần lập bảng biến thiên. Nếu không phải là đoạn thì ta lập bảng biến thiên.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, nửa khoảng

Ta lập bảng biến thiên rồi quan sát bảng biến thiên để kết luận

Chú ý

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trên \([a;b]\).

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\) chỉ đạt được tại \(x=a\), hoặc \(x=b\) hoặc tại \(x_0 \in (a;b)\) mà \(f'(x_0)\) bằng 0 hoặc không xác định.

Bài tập

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số

1. \(f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)
3. \(f(x)=2x^2-x^4\)
4. \(f(x)=3x^4-20x^3+48x^2-48x\)
5. \(f(x)=(x^2-3x)e^x\)
6. \(f(x)=(x^2-2x)e^{-x}\)
7. \(f(x)=\ln (2x-x^2)\)
8. \(f(x)=\ln (ex)-x\)

Ví dụ 1.

Xét tính đơn điệu của các hàm số

1. \(y=x^2-5x+2\)
2. \(y=-x^3+6x^2\)
3. \(y=x^4-4x^2+1\)
4. \(y=x^4-4x\)
5. \(y=x^3-3x^2+3x\)
6. \(y=\dfrac{x+1}{x}\)
7. \(y=2x-3+\dfrac{1}{2x}+1\)
8. \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\)
9. \(y=\dfrac{2x-3}{4x+1}\)
10. \(y=\sqrt{-2x+4}\)
11. \(y=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\)

1. monomial: Đơn thức
2. polynomial: Đa thức
3. binomial: nhị thức
4. trinomial: tam thức
5. simplest form: dạng tối giản (đã thu gọn)
6. standard form: dạng tiêu chuẩn (xếp sao cho bậc các đơn thức từ cao đến thấp)
7. degree: bậc, ví dụ degree of polynomial: bậc của đa thức
8. coefficient: hệ số
9. denominator: mẫu số