Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).

\(d\) cắt \((P)\) khi \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \ne 0\)
\(d \parallel (P)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0\) và \(M \not \in (P)\).
\(d \subset (P)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0\) và \(M \in (P)\).

Ví dụ 1. Chứng minh đường thẳng \(d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z+1}{4}\) song song với mặt phẳng \((P): -x+2y-z+4=0\).

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng \((P): x+2y+3=0\) và trục \(Oz\).

Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-3}{-2}\) vuông góc với mặt phẳng \((P): -x+y+2z-3=0\).