1. Anh Hai và anh Ba đi xe đạp, khởi hành cùng lúc. Vận tốc anh Hai bằng $\frac{4}{5}$ vận tốc anh Ba. Nếu anh Hai tăng vận tốc 1 km/h, anh Ba giảm vận tốc 1 km/h thì sau 3 giờ đoạn đường của anh Ba dài hơn đoạn đường của anh Hai là 3 km. Tính vận tốc mỗi anh.
2. Xe máy đi từ A đến B dài 35 km. Lúc về bằng đường khác dài 42 km với vận tốc hơn lúc đi là 6 km/h. Thời gian về bằng $\frac{12}{13}$ thời gian đi. Tính vận tốc lượt đi và về.
3. Hùng đi từ nhà sang Hà Nội bằng đoạn đường dài 48 km. Lúc về đi đường tắt ngắn hơn 13 km.

Công thức biến đổi lượng giác thường dùng

Công thức cơ bản

• $\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$
• $\dfrac{1}{\sin^2x}=1+\cot^2x$

Công thức nhân đôi

• \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
• \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\)

Công thức hạ bậc

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số

Bài 1. Cho hàm số $y=f(x)$ như sau. Giải phương trình $f'(x)=0$.

1. Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Tính $f'(1-2x)$.
2. Cho hàm số $y=f(x)$ biết $f'(4)=3$ và hàm $g(x)=3x^2+1$. Tính $f'\left(g(-1)\right)$.
3. Cho hàm số $f(x)=e^{-x^2}$ và $g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$. Tính $g'\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

VD1. Xét phép thử gieo hai con xúc xắc. Viết tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố $A$: ''Tổng số chấm trên 2 con xúc xắc là 9"

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $\widehat{BAC}=60^\circ$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$.

Bài 2. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $SA=a\sqrt{2}$, $AB=a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$. Tính khoảng cách giữa $MN$ và $(SCD)$.
Đáp số: $a\dfrac{\sqrt{42}}{14}$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$, tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa

Bài 1. Cho các điểm $A(-2;-1)$, $B(2;1)$, $C(4;-2)$.

Lý thuyết

Bài tập

1. Viết phương trình đường tròn có tâm $I(4;-2)$ và bính kính $R=3$.
2. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(3;-2)$ và nhận $I(5;-3)$ làm tâm.
3. Cho hai điểm $A(5;-2)$ và $B(6;-3)$. Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.
4. Viết phương trình đường tròn có tâm $I(4;-2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 3x+4y+5=0$.
5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ biết $A(0;-1)$, $B(4;1)$, $C(6;-2)$.

1. Khai triển $(2x-3y)^5$.
2. Khai triển và rút gọn $(a+b)^5+(a-b)^5$.
3. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển $(2x-5)^5$.
4. Tính tổng tất cả hệ số của đa thức $(3x-1)^4$.
5. Rút gọn $\left(2+\sqrt{3}\right)^5-\left(2+\sqrt{3}\right)^5$.
6. Tìm hệ số của $x$ trong khai triển đa thức $(4x-3)^5$.
7. Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển $(2x-3)^{10}$.
8. Chứng minh rằng $C^1_n+C^2_n+\cdots+C^{n-1}_n+C^n_n=2^n$.
9. Tập hợp $X=\{0;1;2;3;4;5\}$ có tất cả bao nhiêu tập hợp con

Lý thuyết

Cho hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại mọi $u \in (\alpha; \beta)$ và hàm số $u: (a;b) \to (\alpha; \beta)$,  $u=g(x)$ có đạo hàm tại mọi $x\in (a;b)$. Khi đó hàm $f(g(x))$ có đạo hàm tại mọi $x\in (a;b)$ và \[\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x)).g'(x)\]

Áp dụng quy tắc trên với hàm $f(u)=\sqrt{u}$ ta có $\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}.g'(x)$. Từ đó ta có bảng đạo hàm của hàm hợp (cột bên phải) trong SGK