Hai con thằn lằn A và B đang bám ở hai bức tường đối diện của một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng, chiều dài, chiều cao lần lượt là 8m ,12m, 5m. Ban đầu thằn lằn A ở vị trí cách bức tường phía trước và trần nhà lần lượt là 7m và 3 m, còn thằn lằn B ở vị trí cách bức tường phía trước và trần nhà lần lượt là 9m và 4m (tham khảo hình vẽ bên dưới). Sau đó chúng nhìn thấy nhau và chạy lại gặp nhau. Biết rằng hai con thằn lằn chỉ chạy trên các bức tường và trần nhà, hỏi tổng quãng đường ngắn nhất hai con thằn lằn di chuyển là bao nhiêu mét?

Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

1. Dùng tiên đề Ơclit: Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song với một đường thẳng d thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. Dùng cùng vuông góc với một đường: Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một đường thẳng d thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
3. Chứng minh hai tia đối nhau: Nếu ba điểm A, M, N thẳng hàng có A giữa M và N, hai điểm B, C khác phía đối với đường thẳng MN và thoả mãn $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ thì sẽ suy ra được hai tia AB và AC đối nhau.

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Gọi $I$ là trung điểm $HC$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $K$ sao cho $BA=BK$. Chứng minh $KH \perp AI$.

Hướng dẫn: Gọi $D$ là điểm sao cho $I$ là trung điểm của $AD$. Tam giác $ADK$ có $H$ giao điểm hai đường cao kẻ từ $A$ và $D$ nên $KH \perp AI$.

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$, $AB$, $AC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là hình chiếu của $B$ lên $SC$. Chứng minh $(SAC) \perp (ABM)$.

Bài 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và $ABC$ là tam giác đều, $M$ là trung điểm $AC$, $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của $\triangle SBC$. Chứng minh $(BMH)\perp(SBC)$.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=4$, $AD=6$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=4\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $BD$.

Lý thuyết

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh $\triangle AFC \backsim \triangle AEB$.
2. Chứng minh $AF.AB=AE.AC$.
3. Chứng minh $\triangle AEF \backsim \triangle ABC$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. Vẽ các đường cao $AH$, $BF$ của $\triangle ABC$.

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có mặt bên là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

1. Chứng minh $BC\perp (AA'M)$.
2. $(AA'M)$ cắt $B'C'$ tại $N$. Tính diện tích tứ giác $A'AMN$.
3. Tính góc giữa $AM$ và $A'C$.

Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua hai điểm $A(3;-2)$ và $B(7;-3)$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ là phương trình đường thẳng qua hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$ .

Phương trình một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình

Bài 1. Giải các bất phương trình

1. \(\ln x>0\)
2. \(\ln x<1\)
3. \(\log_2(x+3)>8\)
4. \(\log_{\sqrt{3}}(x-1)<2\)
5. \(\log(x-3)<\log(x^2-4x+3)\)

6. \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)+\log_2(x+1)<0\)