Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\Delta\) là \[\mathrm{d}(A, \Delta)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.\]

Bài tập

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(A(3;1;0)\) đến đường thẳng \(\Delta: \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{z}{2}\).

Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) là

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $SA=\dfrac{2}{\sqrt{3}}a$, $AB=a$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

1. Tính khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$.
2. Tính khoảng cách từ $A$ đến $SB$.
3. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$.
4. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(AB=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\).

Lý thuyết

Tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong \((C)\) v

Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Cho hai véctơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\), vectơ $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi $\overrightarrow{n}=\left(\left|\begin{array}{ll}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|\right)$ gọi là vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $[\vec{a},

Bài 1. Cho các đường thẳng \(d_1: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}\) và điểm \(A(1;2;3)\). Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) biết \(\Delta\) qua \(A\), vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\).

Bài 2. Cho điểm \(M(2;1;0)\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\). Phương trình của \(\Delta\) là \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z}{1}\) là đúng hay sai?

Bài 1. Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả cạnh bằng \(a\). Tính góc giữa hai đường thẳng

1. \(AB'\) và \(A'C'\)
2. \(AB'\) và \(BC'\)

Công thức thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp là \(V=\dfrac{1}{3}S_d\cdot h\), trong đó
\(S_d\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp

Bài tập

Bài 1. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\).

Bài 2. Tính thể tích khối chóp đều \(S.ABC\) biết cạnh đáy bằng \(2\) và cạnh bên bằng \(\sqrt{3}\) (đơn vị độ dài).

Bài 3. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh đáy bằng \(a\).

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\), đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\) và \([S,BD,A]\).

Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\), góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Tính số đo của góc nhị diện \([S,BD,C]\).

Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(SC=a\sqrt{5}\).

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số

1. $y=x^3+\dfrac{1}{3}x^6+1$
2. $y=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{1}{x}$
3. $y=5x+\sqrt{x}$
4. $y=x^4(x-1)^3$
5. $y=\dfrac{x^3+3x^2}{3}$
6. $y=x(x-1)^3$
7. $y=(x-1)(2x-3)^4$

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=(2x+1)^3\)
2. \(y=(1-x)^4\)
3. \(y=(x-1)^4\)
4. \(y=x^3(2x-1)^2\)
5. \(y=(x^2+1)^{10}\)
6. \(y=\dfrac{(1-3x)^4}{3}\)
7. \(y=\dfrac{x^2}{2}+x-3\)
8. \(y=\dfrac{(x-1)^{12}}{12}+\dfrac{(x-1)^{11}}{11}\)