Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;1;0)\) và cắt mặt phẳng \((P): x+y+z+1=0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r=2\).

Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng \((P): 3x+y+2z+1=0\) và mặt cầu \((S): (x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=14\).

Bài 3. Cho mặt phẳng \((P): x-2y+2z+24=0\) và mặt cầu \((S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(3;-1;4)\) biết \((P)\) song song với \((Q): 2x-y+z+3=0\).

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với \((Q): x-2y-2z+3=0\) và cách \((Q)\) một khoảng bằng \(6\).

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+5=0\) và song song với mặt phẳng \((P): 2x-y+2z-11=0\).

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu tâm \(I(1;2;3)\) biết nó tiếp xúc với mặt phẳng \(x-2y+2z+3=0\).

Dựng đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(A\) và mặt phẳng \((P)\). Làm thế nào để dựng đoạn thẳng \(AH \perp (P)\)?

Cách dựng:

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\Delta\) là \[\mathrm{d}(A, \Delta)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.\]

Bài tập

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(A(3;1;0)\) đến đường thẳng \(\Delta: \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{z}{2}\).

Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) là

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $SA=\dfrac{2}{\sqrt{3}}a$, $AB=a$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

1. Tính khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$.
2. Tính khoảng cách từ $A$ đến $SB$.
3. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$.
4. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(SA \perp (ABC)\), \(SA=a\), \(AB=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\).

Lý thuyết

Tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong \((C)\) v

Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Cho hai véctơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\), vectơ $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi $\overrightarrow{n}=\left(\left|\begin{array}{ll}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|\right)$ gọi là vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $[\vec{a},

Bài 1. Cho các đường thẳng \(d_1: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}\) và điểm \(A(1;2;3)\). Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) biết \(\Delta\) qua \(A\), vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\).

Bài 2. Cho điểm \(M(2;1;0)\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\). Phương trình của \(\Delta\) là \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z}{1}\) là đúng hay sai?

Bài 1. Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả cạnh bằng \(a\). Tính góc giữa hai đường thẳng

1. \(AB'\) và \(A'C'\)
2. \(AB'\) và \(BC'\)