Định nghĩa

Cấp số cộng là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng luôn bằng tổng của số hạng liền trước với một số  \(d\) không đổi. Số \(d\) đó gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ dãy số \(4;1;-2;-5;\ldots\) là cấp số cộng có công sai \(d=-3.\)

Một cấp số cộng hoàn toàn được xác định khi biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d.\)

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A(4;-3;2)\), \(B(-1;5;7)\), \(C(0;4;-2)\).

1.  Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), tìm toạ độ của \(M\).
2. Gọi \(G\) là trọng tam tam giác \(ABC\), tìm toạ độ của \(G\).
3. Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AN=2NC\). Tìm toạ độ của \(N\).

Hướng dẫn và đáp số:

(CTST) Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của \(A\) trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10 \sin\left( 10t+\dfrac{\pi}{2}\right).\) Vào các thời điểm nào thì \(s =–5\sqrt{3}\) cm?

Công thức

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\cos\Big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\Big)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\)

Bài tập

Bài 1. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(-1;1;0)\) và \(\overrightarrow{v}=(0;-1;0)\).

Bài 2. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để góc giữa \(\overrightarrow{u}=(2-3m;2;-6)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;3-8m;1)\) vuông góc.

Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

1. Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (với \(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
2. Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.

Bài tập

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A(3;1;2)\) và \(B(4;0;3)\).

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. \(y=3-\sin 2x\)
2. \(y=3\cos^2x-2\)
3. \(y=3-4|\cos 2x|\)
4. \(y=\dfrac{1}{2}\cos x-3\)
5. \(y=4\cos^2x-\sin^2x\)
6. \(y=\sin x + \cos x -1\)
7. \(y=\dfrac{1}{2}\sin x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\)
8. \(y=\sin^2 x -\sin x + 3\)

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số

1. \(y=f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{x-2}\)
2. \(y=f(x)=\dfrac{3x^2-1}{x+2}\)
3. \(y=f(x)=\dfrac{-x^2+x+1}{x+1}\)
4. \(y=f(x)=\dfrac{4x^2+1}{2x}\)
5. \(y=f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+2}\)
6. \(y=f(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x}\)
7. \(y=f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+1}\)
8. \(y=f(x)=x-1-\dfrac{x-1}{x^2+1}\)

Đáp số:

6 trường hợp đặc biệt

• \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x =k\pi\)
• \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\)
• \(\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi+k2\pi\)
• \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x =\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Các công thức

• \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi \\ x = \pi -\alpha + k2\pi\end{array}\right.\)
• \(\cos x = \cos \alpha \Leftr

Đây là câu tương đối khó, các em cần huy động nhiều công thức, chọn công thức phù hợp để dùng mới có thể giải được bài này.

Bài 1. Với điều kiện mẫu khác 0, chứng minh đẳng thức

\[\dfrac{1-\cos 4x}{\cos 3x\sin x-\cos x \sin x}=-2\cot x.\]

Bài 2. Với điều kiện mẫu khác 0, chứng minh đẳng thức

\[\dfrac{4-8\sin^2 2x}{\sin 4x-2\sin^2 2x}-2=(\cot x-1)(1+\tan x).\]

Lý thuyết

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\)
2. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) là \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
3. Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\).
4. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2