Cấp số cộng

Định nghĩa

Cấp số cộng là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng luôn bằng tổng của số hạng liền trước với một số  \(d\) không đổi. Số \(d\) đó gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ dãy số \(4;1;-2;-5;\ldots\) là cấp số cộng có công sai \(d=-3.\)

Một cấp số cộng hoàn toàn được xác định khi biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d.\)

Công thức số hạng tổng quát

Ta thấy \(u_2=u_1+d\), \(u_3=u_1+2d, \ldots\) Từ đó ta có thể dự đoán công thức \(u_n=u_1+(n-1)d\) và có thể chứng minh dự đoán này bằng quy nạp.  Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là
\[u_n=u_1+(n-1)d\]

Tính chất ba số hạng liên tiếp

Trong ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, số hạng ở giữa luôn bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên.
\[u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} \forall k \ge 2\]

Tổng n số hạng đầu

Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\) gọi là tổng của \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng. Người ta chứng minh được
\[S_n=nu_1+\dfrac{n(n-1)d}{2}\]