Lý thuyết
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
- Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\)
- Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) là \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
- Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\).
- Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được tính bởi \(\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\)
Các ví dụ
Ví dụ 3. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(4;1;-2)\) và \(\overrightarrow{b}=(2;3;m)\). Tìm \(m\) để \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\).
Ví dụ 5. (CTST trang 62) Cho tam giác \(ABC\) có \(A(7; 3; 3)\), \(B(1; 2; 4)\), \(C(2; 3; 5).\)
Tìm toạ độ điểm \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).
Tìm độ dài cạnh \(AB\) và \(AC\).
Tính góc \(A\)
Gợi ý: Có hai cách tính \(\cos A\):
Tính \(\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}\)
Dùng định lý cosin \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}.\)
Bài tập
Bài 1. Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) biết \(\overrightarrow{AB}=(-2;-5;0)\) và \(\overrightarrow{AC}=(2;-2;0).\) Tính độ dài đoạn thẳng \(BC.\)
Bài 2. Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A(1;2;1)\) và \(B(2;-1;3)\). Mỗi mệnh đề sau đúng hai sai?
- Điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(Oyz\) là \(B'(-2;-1;3)\).
- Cho \(C(6;-7;1)\). Khi đó tam giác \(ABC\) có toạ độ trọng tâm \(G(3;1;-2)\).
- \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì toạ độ \(I(3;1;4)\).
- Điểm \(M(m;n;0)\) thuộc \((Oxy)\) sao cho \(P=MA^2-2MB^2\) lớn nhất. Khi đó \(m+n=-1.\)
- Log in to post comments