Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác trong không gian Oxyz

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A(4;-3;2)\), \(B(-1;5;7)\), \(C(0;4;-2)\).

1.  Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), tìm toạ độ của \(M\).
2. Gọi \(G\) là trọng tam tam giác \(ABC\), tìm toạ độ của \(G\).
3. Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AN=2NC\). Tìm toạ độ của \(N\).

Hướng dẫn và đáp số:

1.  \(M\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{9}{2};\dfrac{5}{2}\right)\).
2. \(G\left(1;2;\dfrac{7}{3}\right)\).
3. Gọi \(N(x;y;z)\), ta có \(\overrightarrow{AC}=(-4;7;-4)\), \(\overrightarrow{AN}=x-4;y+3:z-2)\).
   Vì \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{2}\overrightarrow{AC}\) nên \(\left\{\begin{array}{l}x-4=\dfrac{2}{3}.(-4) \\ y+3=\dfrac{2}{3}.7 \\ z-2=\dfrac{2}{3}.(-4)\end{array}\right.\) suy ra \(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{4}{3} \\ y=\dfrac{5}{3} \\ z=-\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\)

Bài 2. 

1. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(-1;2;-4)\), \(B(3;-2;1)\), \(C(5;1;0)\). Tìm toạ độ đỉnh \(D\).
2. Cho hình bình hành \(MQNP\) có \(M(3;0;-4)\), \(P(4;-7;-1)\), \(Q(-5;-1;2)\). Tìm toạ độ đỉnh \(N\).