Điều kiện cùng phương của hai vectơ trong không gian (toạ độ)

Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.
Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Bài tập

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(3;1;2)$ và $B(4;0;3)$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho ba điểm $A, M, B$ thẳng hàng.

Đáp số: $M\left(\frac{17}{5};\frac{3}{5};0\right)$

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(3;-2;5)$ và $B(4;1;1)$. Gọi $N$ là giao điểm của mặt phẳng $(Oxz)$ và đường thẳng $AB$. Tìm toạ độ điểm $N$.

Đáp số: $M\left(\frac{11}{3};0;\frac{7}{3}\right)$

Bài 1. Tìm số thực $m$ để hai vectơ $\overrightarrow{a}=(10-m;m+2;m^2-10)$ và $\overrightarrow{b}=(7;-1;3)$ cùng phương.

Đáp số: $m=-4.$

Bài 2. Tìm hai số thực $x, y$ sao cho 3 điểm $A(2;5;3)$, $B(3;7;4)$, $C(x;y;6)$ thẳng hàng.

Bài 3. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng toạ độ $Ozy$ sao cho ba điểm $A(-2;4;1)$, $B(9;-3;2)$ và $M$ thẳng hàng.

Bài 4. Cho $A(3;1;-2)$, $B(5;-2;7)$. Giả sử $C(x;y;0)$ thuộc trục $(Oxy)$ sao cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Tính $x+y$.

Bài 5. Cho $C(0;0;z)$ thuộc $Oz$, $M(1;2;2)$, $B(x;y;0)$ thuộc $(Oxy)$. Tính $x+y+z$ biết rằng $M$ là trung điểm của $BC$.