Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.

1. \(f(x,y)=2x^2+y^2-4y+5\)
2. \(f(x,y)=x^2+4y^2+12x+4y+13\)
3. \(f(x,y)=x^2+y^2+2y-6x+10\)
4. \(f(x,y)=4y^2+34-10x+12y+x^2\)
5. \(f(x,y)=4x^2+y^2+12x+4y+13\)
6. \(f(x,y)=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+30\)
7. \(f(x,y)=-12x+13-24y+9x^2+16y^2\)
8. \(f(x,y,z)=x^2-4xy+5y^2-4yz+4z^2\)
9. \(f(x,y)=5x^2+y^2+z^2+4xy-2xz\)
10. \(f(x,y)=9x^2+25-12xy+2y^2-10y\)
11. \(f(x,y)=13x^2+4x-12xy+4y^2+1\)

Gợi ý

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang với đáy lớn \(AD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SB\).

Bài 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1. \(y=f(x)=\dfrac{x-2}{x}\)
2. \(y=f(x)=\dfrac{4}{x^2}\)
3. \(y=f(x)=\dfrac{x}{2x+4}\)
4. \(y=f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2}\)
5. \(y=f(x)=\dfrac{x^2+x-3}{x+1}\)
6. \(y=f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2+x+1}\)
7. \(y=f(x)=\dfrac{x+3}{x^2+6x+9}\)
8. \(y=f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-4x+4}\)

Bài 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bài 1. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng \(x\) (dm), rồi gập tấm nhôm lại như hình để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích khối hộp chữ nhật tạo ra là lớn nhất.

Bài 2. Ông An dự định sử dụng hết \(5\text{m}^2\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lý thuyết

Nếu \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) thì ta có hai công thức:

• \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
• \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\)

Bài tập

Xét tính đúng sai của các mệnh đề.

Câu 1. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\) và \(G\) là trung điểm \(MN\).

Các cách tính tích vô hướng

1. Dùng định nghĩa: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\)
2. Tùng quy tắc chen điểm, công thức trung điểm, trung tuyến, dùng tính chất phân phối của tích vô hướng để biến đổi biểu thức cần tính thành biểu thức đơn giản hơn. Trong quá trình tính ta khai thác tích vô hướng của hai vectơ vuông góc thì bằng 0.

Ví dụ

Ví dụ 1.

Cách tìm giao điểm của đường thẳng d và mp (P):

Cách 1: Tìm trong (P) một đường thẳng a mà a cắt d tại M. Khi đó M là giao điểm của d và (P).

Nếu không dễ thấy đường thẳng a thì ta dùng cách 2 như sau:

Cách 2:

• Chọn mp (Q) chứa d
• Tìm giao tuyến a của (P) và (Q)
• Tìm giao điểm M của d và a. M chính là giao điểm của d và (P)

Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M\) là một điểm thuộc miền trong tam giác \(ABC\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \((BCD)\).

Ta đã biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \([a;b].\) Cách cũ này không cần lập bảng biến thiên. Nếu không phải là đoạn thì ta lập bảng biến thiên.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, nửa khoảng

Ta lập bảng biến thiên rồi quan sát bảng biến thiên để kết luận

Chú ý

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trên \([a;b]\).

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\) chỉ đạt được tại \(x=a\), hoặc \(x=b\) hoặc tại \(x_0 \in (a;b)\) mà \(f'(x_0)\) bằng 0 hoặc không xác định.

Bài tập

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số

1. \(f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)
3. \(f(x)=2x^2-x^4\)
4. \(f(x)=3x^4-20x^3+48x^2-48x\)
5. \(f(x)=(x^2-3x)e^x\)
6. \(f(x)=(x^2-2x)e^{-x}\)
7. \(f(x)=\ln (2x-x^2)\)
8. \(f(x)=\ln (ex)-x\)