Lý thuyết

Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\ne 0$, đặt $\Delta=b^2-4ac$.

Tính

1. \(\displaystyle\int \dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)} \mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{(x+1)(2x+1)} \mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+3x} \mathrm{d}x\)
4. \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-4} \mathrm{d}x\)
5. \(\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2-4} \mathrm{d}x\)
6. \(\displaystyle\int \dfrac{3x+1}{x^2+4x+3} \mathrm{d}x\)
7. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+2x+1} \mathrm{d}x\)
8. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{4x^2+4x+1} \mathrm{d}x\)

Bài 1. Giải các bất phương trình, ghi tập hợp nghiệm.

1. \(x^2<9\)
2. \(x^2<4\)
3. \(4x^2-9<0\)
4. \(x^2-x-6\ge 0\)
5. \(x(x-1)>x(1-x)\)
6. \(x^2-x+\dfrac{1}{4}<0\)
7. \(2x^2-2x+\dfrac{1}{2}>0\)
8. \(\dfrac{x}{2}>x(x-1)\)
9. \(x^2>x(2x-2)\)
10. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x(x-1)}{3}>2\)

Số mũ tự nhiên

Cho \(n\) là số tự nhiên, $a$ là số thực tuỳ ý
\[a^n=a.a...a \text{ (n lần) }\]

Số mũ nguyên âm

$n$ là số nguyên dương

\[a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \text{ với } a\ne 0\]

Số mũ không nguyên

Nếu $r=\dfrac{m}{n}$ là một số hữu tỉ thì $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$.

Trường hợp $r$ là số vô tỉ thì người ta vẫn có $a^r$.

Tóm lại

Điều kiện có nghĩa của biểu thức $a^r$ là:

Công thức lượng giác cơ bản

• \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
• \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
• \(\cos^2x=1-\sin^2x\)
• \(\sin^2x=1-\cos^2x\)
• \(\tan^2x = \dfrac{1}{\cos^2x}-1\)
• \(\cot^2x = \dfrac{1}{\sin^2x}-1\)

Công thức hạ bậc

• \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
• \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)

Suy ra

1. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $x^2+2(m+1)x+4m^2-3m+1$ có hai nghiệm phân biệt.
   Đáp số: $m>0$.
2. Tìm điều kiện của tham số $a$ để phương trình $x^2-4(a+3)x-3+4a^2=0$ vô nghiệm.
   Đáp số: $a<\dfrac{13}{8}$.
3. Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình $mx^2-(2m-1)x+m-3=0$ có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

Bài 9. Cho đường tròn $(𝑂; 𝑅)$ và điểm $𝑀$ nằm ngoài đường tròn. Qua $𝑀$ kẻ hai tiếp tuyến $𝑀𝐴$, $𝑀𝐵$ với đường tròn $(𝑂; 𝑅)$ ($𝐴$; $𝐵$ là tiếp điểm).

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC).$ Gọi $D$ là trung điểm $BC.$ Kẻ $DE \perp AB$ tại $E$, $DF \perp AC$ tại $F.$

Lý thuyết

Cho trước điểm $M$ và vectơ $\overrightarrow{u}$. Khi đó có duy nhất điểm $M$ thoả $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$.

Bài tập

1. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
2. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}$.
3. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$.

Định nghĩa

Tính chất

Dấu hiệu nhận biết

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $AM$ là đường trung tuyến.

1. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.
2. Từ $M$ vẽ $MK$ vuông góc với $AB$ $(K\in AB)$, $MN$ vuông góc với $AC$ $(N\in AC)$. Chứng minh  $AKMN$ là hình chữ nhật.
3. Chứng minh $KMCN$ là hình bình hành.
4. Vẽ $AH$ vuông góc với $BC$. Chứng minh $KHMN$ là hình thang cân.