Công thức

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A)\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\) là
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Bài tập

Bài 1. (Bài 5 trang 64 CTST) Cho ba điểm \(A(3;3;3)\), \(B(1;1;2)\), \(C(5;3;1)\).

1.  Tìm toạ độ điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho \(M\) cách đều hai điểm \(B, C\).
2. Tìm toạ độ điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) cách đều ba điểm \(A, B, C\).

Bài 1. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

1. Chứng minh $(BDA') \parallel (B'D'C)$
2. Đường thẳng $AC'$ cắt hai mặt phẳng ở câu trên lần lượt tại $I, J$. Chứng minh \(AI=IJ=JC'\).

Bài 2. Chứng minh 4 đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

Định lý 2. (SGK)

Định lý 3. (SGK)

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là trung điểm $SA$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ đồng thời $(P) \parallel (SBC)$. Tìm giao tuyến của $(P)$ với các mặt phẳng $(ABCD)$, $(SAB)$, $(SAD)$, $(SCD)$.

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA, CD$. Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC).$

Bài 1. Tính các giới hạn sau

1. \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}\) 
2. \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\sqrt{2x+6}-2}{2x^2-x-3}\)
3. \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{2x-1}-x}{x^4-1}\)
4. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{x-a}\)
5. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3-a^3}{x-a}\)

Bài 2. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x}\). Tính \(\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}.\)

Bài 3. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x}\). Tính \(\lim\limits_{t\to x}\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x},\) với \(x>0.\)

Các cách tính góc giữa hai vectơ trong không gian

1. Dùng định nghĩa xác định góc giữa hai vectơ trên hình, dùng các kiến thức hình học phẳng để tính góc đó (định lý cosin, định lý sin, tỉ số lượng giác, ...)
2. Tính góc giữa hai vectơ thông qua tích vô hướng
   \[\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\]

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và \(\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(O\) tuỳ ý. Xác định điểm $A$ sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\), xác định điểm \(B\) sao cho \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Khi đó góc \(\widehat{AOB}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).

Ví dụ dãy số có giới hạn 0

Trước khi học định nghĩa giới hạn của dãy số, ta xét ba dãy số cụ thể sau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có 3 trường hợp xảy ra giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P).\)

• \(a\) nằm trong \((P)\): Mọi điểm thuộc \(a\) đều là điểm chung của \(a\) và \((P)\).
• \(a\) cắt \((P)\) tại một điểm chung duy nhất \(M\).
• \(a\) và \((P)\) không có điểm chung.

Định nghĩa

Đường thẳng \(a\) được gọi là song song với mặt phẳng \((P)\) nếu \(a\) và \((P)\) không có điểm chung, kí hiệu \(a \parallel (P).\)

Bài 1. Một người lên kế hoạch để đọc một cuốn sách có 256 trang như sau: ngày thứ nhất đọc 1 trang sách, từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó. Xét tính đúng sai của mỗi ý sau.

1. Ngày thứ 5, người đó đọc 16 trang sách.

2. Số trang sách người đó đọc theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

3. Số trang sách người đó đọc trong ngày thứ sáu bằng tổng số trang sách đã đọc trong năm ngày trước đó.