Bài 1. Tính góc giữa đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P): -8x-2y+7z+3=0\).

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \left\{\begin{array}{l} x = 1+t \\ y=2-2t \\ z=-t \end{array}\right.\) và \(d_2: \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y= 3+t \\ z=4+2t \end{array}\right.\).

Bài 3. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(5;-2;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;1;-4)\).

Bài 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P): 9x+4y+z+1=0\) và \((Q): -5x-5y+2z+3=0\).

Phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài tập

Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

Cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).

Định nghĩa

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ

Bài tập

Bài 10. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \perp (ABC)\) và \(SB=a\sqrt{5}\). Gọi \(M\) là trung điểm  của \(BC\). Tính góc giữa \(SM\) và \((SAC)\).

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, \((SAC) \perp (ABCD)\). Gọi M là trung điểm của AD, \((SBM) \perp (ABCD)\). Giả sử \(SA = 5a\), \(AB = 3a\), \(AD=4a\) và góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng (ABCD) bằng \(\varphi\) . Tính \(\cos\varphi\).

Phương pháp

Ta cần nhớ lại các công thức đạo hàm:

• \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\)
• \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

Từ đó nếu hàm \(f(x)\) thoả mãn \(\dfrac{-f'(x)}{\left[f(x)\right]^2}=h(x)\) thì \(f(x)=\displaystyle\int h(x)\mathrm{d}x\).

Bài tập

Bài 1. Cho hàm số \(f(x)\) thoả \(f(2)=-\dfrac{1}{5}\) và \(f'(x)=x^3\left[f(x)\right]^2 \; \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f(1)\).

Đáp số: \(-\dfrac{4}{5}\).

Bài 1. Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2x+3 & \text{nếu} & x \ge 1 \\ 3x^2+2 & \text{nếu}& x<1\end{array}\right.\). Biết rằng \(F(0)=2\),  tính \(F(-1)+2F(2)\).

Bài 1. Dân số thế giới năm 2020 là 7,795 tỉ người. Độ tăng dân số thế giới năm sau so với năm trước luôn duy trì ở mức \(1,05\%\). Dự tính cần ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số thế giới đạt 10 tỉ người?

Bài 1. Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.

Bài 2. Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), biết rằng góc giữa \((A'BC)\) và \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính độ dài cạnh bên của hình lăng trụ.

Lý thuyết

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều, \(M\) là trung điểm \(BC\) , \(SA \perp (ABC)\). Chứng minh \((SBC) \perp (SAM)\).

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\), \(SO \perp (ABCD)\), \(M\) là trung điểm \(CD\).

1. Chứng minh \((SOM) \perp (ABCD)\).
2. Chứng minh \((SOM) \perp (SCD)\).
3. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(SM\), chứng minh \(OH \perp (SCD)\).

Câu hỏi lý thuyết

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\), \(SA \perp (ABCD)\). Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:

1. \((SAD)\) và \((SAB)\)
2. \((SAD)\) và \((SAC)\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: