Lý thuyết

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ được tính bởi \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2.\]

Điều kiện hai vec tơ vuông góc

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0.\)

Độ dài của vec tơ

Bình phương vô hương của $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{a}^2=a_1^2+a_2^2.$

Lý thuyết

1. Cùng cơ số $a>1$, ta có: $a^x>a^y \Leftrightarrow x>y$
2. Cùng cơ số $0<a<1$, ta có: $a^x>a^y \Leftrightarrow x<y$
3. Cùng số mũ dương $x>0$, ta có: $a^x>b^x \Leftrightarrow a>b$
4. Cùng số mũ âm $x<0$, ta có: $a^x>b^x \Leftrightarrow a<b$

(với điều kiện các luỹ thừa có nghĩa, cơ số phải dương).

Bài tập

Bài 1. So sánh

Lý thuyết

Các bước giải phương trình dạng $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}$.

1. Bình phương hai vế
2. Giải phương trình thu được tìm $x$.
3. Thử lần lượt các giá trị $x$ tìm được vào phương trình của đề bài, nếu thoả mãn điều kiện và đồng thời hai vế bằng nhau thì nhận giá trị $x$ đó là nghiệm.

Các bước giải phương trình $\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e$ cũng tương tự.

Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình.

Lý thuyết

• Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ bằng nhau khi  $\begin{cases} b_1=a_1 \\ b_2=a_2. \end{cases}$
• Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ cùng phương khi tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$, hay $\begin{cases} b_1=ka_1 \\ b_2=ka_2.

Bài 1. Cho A(3; 1), B(4; -2), C(-3; 4)

1. C/m A, B, C không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABDC là hình bình hành.
3. Tìm tọa độ trọng tâm G của $\triangle ABC$.
4. Tìm tọa độ điểm E sao cho B là trọng tâm của $\triangle ACE$.
5. Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho A, B, N thẳng hàng.
6. Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm B qua điểm A.

Bài 2. Cho các điểm $A(-1;2)$, $B(3;-1)$, $C(4;1)$.

Lý thuyết

Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\ne 0$, đặt $\Delta=b^2-4ac$.

Tính

1. \(\displaystyle\int \dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)} \mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{(x+1)(2x+1)} \mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+3x} \mathrm{d}x\)
4. \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-4} \mathrm{d}x\)
5. \(\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2-4} \mathrm{d}x\)
6. \(\displaystyle\int \dfrac{3x+1}{x^2+4x+3} \mathrm{d}x\)
7. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+2x+1} \mathrm{d}x\)
8. \(\displaystyle\int \dfrac{x}{4x^2+4x+1} \mathrm{d}x\)

Bài 1. Giải các bất phương trình, ghi tập hợp nghiệm.

1. \(x^2<9\)
2. \(x^2<4\)
3. \(4x^2-9<0\)
4. \(x^2-x-6\ge 0\)
5. \(x(x-1)>x(1-x)\)
6. \(x^2-x+\dfrac{1}{4}<0\)
7. \(2x^2-2x+\dfrac{1}{2}>0\)
8. \(\dfrac{x}{2}>x(x-1)\)
9. \(x^2>x(2x-2)\)
10. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x(x-1)}{3}>2\)

Số mũ tự nhiên

Cho \(n\) là số tự nhiên, $a$ là số thực tuỳ ý
\[a^n=a.a...a \text{ (n lần) }\]

Số mũ nguyên âm

$n$ là số nguyên dương

\[a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \text{ với } a\ne 0\]

Số mũ không nguyên

Nếu $r=\dfrac{m}{n}$ là một số hữu tỉ thì $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$.

Trường hợp $r$ là số vô tỉ thì người ta vẫn có $a^r$.

Tóm lại

Điều kiện có nghĩa của biểu thức $a^r$ là:

Công thức lượng giác cơ bản

• \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
• \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
• \(\cos^2x=1-\sin^2x\)
• \(\sin^2x=1-\cos^2x\)
• \(\tan^2x = \dfrac{1}{\cos^2x}-1\)
• \(\cot^2x = \dfrac{1}{\sin^2x}-1\)

Công thức hạ bậc

• \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
• \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)

Suy ra