Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến $\Delta$ là \[\mathrm{d}(A, \Delta)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.\]

Bài tập

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm $A(3;1;0)$ đến đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{z}{2}$.

Bài 2. Cho mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=9$ cắt đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{6}$ tại hai điểm $M$ và $N$. Tính độ dài $MN$.

Bài 3. Tìm số điểm chung giữa đường thẳng $\Delta: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$.

Bài 4. Xét tính đúng sai

Trong không gian $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O(0;0;0)$ di chuyển với vectơ vận tốc $\vec{v}_1 = (1;2;2)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A(0;0;5)$ với vectơ vận tốc $\vec{v}_2 = (0;3;4)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà người ta thường xuyên săn bắn chim có dạng mặt cầu $(S): (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$. Biết rằng đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1{,}5$ mét và đơn vị đo thời gian là giây.

Tốc độ di chuyển của chim bồ câu là $4{,}5\ (\text{m/s})$.
Chim én và chim bồ câu không va chạm nhau trong quá trình bay.
Thời gian mà bồ câu di chuyển trong vùng không gian nguy hiểm nhiều hơn $3$ giây.
Trong quá trình bay, chim én cách vùng nguy hiểm không quá $0{,}5$ mét.