Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) là

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu

1. có tâm \(I(2;-2;1)\) và có bán kính bằng \(3\).
2. có tâm \(O\) và bán kính \(R\).
3. có tâm \(I(0;1;-2)\) và mặt cầu đi qua \(A(1;-3;4)\)
4. nhận \(AB\) làm đường kính biết \(A(1;0;5)\) và \(B(-3;8;1)\)
5. có tâm \(I(0;2;3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P): 2x+2y+z-13=0\)

Dạng khác của phương trình mặt cầu

Phương trình \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) là phương trình của mặt cầu khi
\[a^2+b^2+c^2-d>0\]
Khi đó tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\).

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu. Nếu là phương trình mặt cầu thì tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

1. \(x^2+y^2+z^2+5x-7y+z-1=0\)
2. \(x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z+100=0\)
3. \(x^2+y^2+z^2-x-y-z+\dfrac{1}{2}=0\).

Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu

1. đi qua bốn điểm \(A(6;-2;3)\), \(B(0;1;6)\), \(C(2;0;-1)\), \(D(4;1;0)\)
2. đi qua ba điểm \(A(0;0;-4)\), \(B(2;1;3)\), \(C(0;2;6)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((Oyz)\).
3. đi qua hai điểm \(A(3;-1;2)\), \(B(1;1;-2)\) và có tâm thuộc trục \(Oz\).

Ví dụ 4. Cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(3;3;3)\). Chứng minh rằng tập hợp tất cả điểm \(M\) thay đổi trong không gian thoả mãn \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=4\) là một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.