Ví dụ dãy số có giới hạn 0
Trước khi học định nghĩa giới hạn của dãy số, ta xét ba dãy số cụ thể sau.
- Dãy \((u_n)\) cho bởi \(u_n=\dfrac{1}{n}\). Các số hạng của dãy số này là \(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots\). Ta thấy rằng \(1>\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}>\cdots>0\). Dãy này giảm, giảm mãii, nhưng không thể vượt xuống dưới 0 được, vì tất cả số hạng của dãy đều lớn hơn 0. Ta dự đoán giá dãy này "hội tụ" về 0. Theo kiểu, hiệu \((u_n-0)\) có thể nhỏ bao nhiêu cũng được.
- Tương tự, ta cũng đoán dãy \((v_n)\) cho bởi \(v_n=\dfrac{-1}{n}\) thì là dãy tăng và cũng dần về 0.
- Dãy \((w_n)\) cho bởi \(w_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\) thì không tăng không giảm nhưng \(|w_n-0|\) có thể nhỏ bao nhiêu cũng được.
Trên đây là 3 dãy cụ thể có giới hạn bằng 0, ta có thể ghi \(\lim u_0=0\), \(\lim v_n=0\), \(\lim w_n=0.\)
Định nghĩa dãy có giới hạn bằng 0
Dãy số \((u_n)\) được gọi là có giới hạn bằng 0 và ghi \(\lim u_n=0\) nếu với một độ nhỏ tuỳ ý \(\epsilon >0\), luôn tồn tại chỉ số \(N_0\) sao cho \(|u_n|<\epsilon\) với mọi \(n>N_0\).
Định nghĩa này có thể được diễn giải như sau: Với độ gần mong muốn \(\epsilon\) tuỳ ý, ta luôn tìm được một vị trí \(N_0\) mà tất cả số hạng của dãy số từ sau \(u_{N_0}\) trở đi đều có độ gần so với số 0 nhỏ hơn \(\epsilon\).
Định nghĩa giới hạn của dãy số
Dãy số \((u_n)\) được gọi là có giới hạn bằng \(a\) khi:
Với mọi số dương \(\epsilon\)
- Log in to post comments