góc giữa hai vectơ trong không gian
Bài 1. Tính góc giữa đường thẳng \(d: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P): -8x-2y+7z+3=0\).
Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \left\{\begin{array}{l} x = 1+t \\ y=2-2t \\ z=-t \end{array}\right.\) và \(d_2: \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y= 3+t \\ z=4+2t \end{array}\right.\).
Bài 3. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(5;-2;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(-1;1;-4)\).
Bài 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P): 9x+4y+z+1=0\) và \((Q): -5x-5y+2z+3=0\).
Các cách tính góc giữa hai vectơ trong không gian
- Dùng định nghĩa xác định góc giữa hai vectơ trên hình, dùng các kiến thức hình học phẳng để tính góc đó (định lý cosin, định lý sin, tỉ số lượng giác, ...)
- Tính góc giữa hai vectơ thông qua tích vô hướng
\[\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\]
Định nghĩa
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và \(\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(O\) tuỳ ý. Xác định điểm $A$ sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\), xác định điểm \(B\) sao cho \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Khi đó góc \(\widehat{AOB}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).