Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Có 3 trường hợp xảy ra giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P).\)
- \(a\) nằm trong \((P)\): Mọi điểm thuộc \(a\) đều là điểm chung của \(a\) và \((P)\).
- \(a\) cắt \((P)\) tại một điểm chung duy nhất \(M\).
- \(a\) và \((P)\) không có điểm chung.
Định nghĩa
Đường thẳng \(a\) được gọi là song song với mặt phẳng \((P)\) nếu \(a\) và \((P)\) không có điểm chung, kí hiệu \(a \parallel (P).\)
Tính chất
Định lý 1.
Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \((P)\) và \(a\) song song với một đường thẳng \(b\) nào đó nằm trong mặt phẳng \((P)\) thì đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\).
Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và tam giác \(SAC\). Chứng minh \(MN \parallel (ABC).\)
Hướng dẫn: Gọi \(I, K\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC.\)
\(M\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{2}{3}\)
\(N\) là trọng tâm tam giác \(SAC\) nên \(\dfrac{SN}{SK}=\dfrac{2}{3}\)
Suy ra \(\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{SN}{SK}\)
Theo định lý Ta-let đảo trong tam giác \(SIK\) ta có \(MN \parallel IK\).
Ta có \(MN \not\subset (ABC)\), \(MN \parallel IK\), \(IK \subset (ABC)\) nên suy ra \(MN \parallel (ABC).\)
Ví dụ 2. Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\), điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(CM=2MB\). Chứng minh \(MG \parallel (ABD).\)
Định lý 2.
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\). Nếu mặt phẳng \((Q)\) chứa đường thẳng \(a\) và cắt \((P)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(b\) song song với \(a.\)
Ví dụ 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) là điểm thuộc cạnh \(SA\), không trùng với \(S\) và \(A\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với \(AD\). Gọi \(N\) là giao điểm của \((\alpha)\) và \(SD\). Chứng minh \(MN \parallel AD.\)
Ví dụ 4. Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\), không trùng với \(A\) và \(B\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với hai đường thẳng \(AD\), \(BC\). Mặt phẳng \((\alpha)\) cắt \(AC, CD, BD\) lần lượt tại \(N, P, Q\). Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì? Vì sao?
Ví dụ 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điềm của các cạnh \(AD\) và \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Biết tứ giác tạo bởi các giao tuyến của \((IJG)\) và các mặt hình chóp là một hình bình hành, \(AB=6a\). Khi đó, độ dài cạnh \(CD\) bằng \(ka\). Tìm \(k\).
Bài tập
Bài 3. (CTST) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một mặt phẳng \((\alpha)\) qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) MNPQ là hình gì?
b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.
Bài 4. (CTST) Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua M, song song đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với các cạnh AC, CD và DB.
Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
- Log in to post comments