Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bài 1. Cho các số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh
\[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{3a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b+a}}\right)\le 2\]

Nhận xét: Bài này cần dự đoán dấu bằng xảy ra khi \(a=b\), các đánh giá trung gian cần để ý dấu bằng phải xảy ra, chú ý về tính đồng bậc của tử và mẫu của vế trái.
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{3b+a}}\le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a+b}{3b+a}\right)\), dấu bằng khi \(a=b\)
và \(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{3b+a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2b}{3b+a}\right)\), dấu bằng khi \(a=b\)
Cộng theo vế hai điều trên ta được
\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3b+a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{1}{2}+1\right)\)

Tương tự ta có \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{1}{2}+1\right)\)

Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh.