Bài toán bất đẳng thức có liên quan đến 3 cạnh tam giác

Lý thuyết

Với \(a, b, c\) là ba cạnh của tam giác ta có

• \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)
• \(|a-b|<c\), \(|b-c|<a\), \(|c-a|<b\)

Bài tập

Bài 1. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(3\). Chứng minh rằng
\[3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13.\]

Hướng dẫn: Nếu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
\[3(a^2+b^2+c^2)\ge(a+b+c)^2\]
hay sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được
\[a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}\]
hay \(abc\le\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3\)
Ta thấy tích \(abc\) ở phía vế nhỏ. Muốn tích ở vế lớn ta phải nghĩ hướng khác.

Áp dụng AM-GM cho hai số \(a+b-c\) và \(b+c-a\) ta có
\[(a+b-c)(b+c-a)\le\left(\dfrac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2}\right)^2=b^2\]

Tương tự ta có
\[(b+c-a)(c+a-b)\le c^2\]
và \((c+a-b)(a+b-c)\le a^2\)

Nhân theo vế ta được \((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc\).

Vì \(a+b+c=3\) nên ta được \((3-2a)(3-2b)(3-2c) \le abc\). Từ đây ta được đánh giá mà tích \(abc\) ở bên vế lớn.