Tam giác đồng dạng

Lý thuyết

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh $\triangle AFC \backsim \triangle AEB$.
2. Chứng minh $AF.AB=AE.AC$.
3. Chứng minh $\triangle AEF \backsim \triangle ABC$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. Vẽ các đường cao $AH$, $BF$ của $\triangle ABC$.

1. Chứng minh $\triangle AHC \backsim \triangle BFC$.
2. Gọi $K$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Chứng minh $AH.FQ=BF.KQ$.

Bài 4. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$.

1. Chứng minh $\triangle HBA \backsim ABC$ và $AB^2=BH.BC$.
2. Chứng minh $HA^2=HB.HC$.
3. Tia phân giác của $\widehat{AHC}$ cắt $AC$ tại $D$. Chứng minh $\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AD^2}{DC^2}$.

Bài 5. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.

1. Chứng minh $BA^2=BH.BC$.
2. Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $D$, cắt $AH$ tại $I$. Chứng minh $AD^2=IH.DC$.

Bài 6. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.

1. Chứng minh $AH^2=BH.CH$.
2. Tia phân giác của $\widehat{BHA}$ cắt $AB$ tại $D$, tia phân giác của $\widehat{CHA}$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh $\dfrac{DA}{DB}.\dfrac{EA}{EC}=1$.

Bài 7. Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh $AH \perp BC$.
2. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $AF.AB=AE.AC=AH.AD$
3. Chứng minh $\triangle AEF \backsim \triangle ABC$. Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$.
4. Chứng minh $EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$.

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ nhọn, hai đường cao $BF$, $CE$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh $HF.HB=HE.HC$.
2. Chứng minh $\triangle HFE \backsim \triangle HCB$. Suy ra $\widehat{HEF}=\widehat{HCB}$.
3. Gọi $P$, $Q$, $K$ là hình chiếu của $E$ lần lượt lên $BC$, $BF$, $AC$. Gọi $I$ là giao điểm của $EP$ và $BH$. Chứng minh $\widehat{BEP}=\widehat{BQP}$.
4. Chứng minh ba điểm $P, Q, K$ thẳng hàng.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB<AC$, đường cao $AH$.

1. Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle HAC$.
2. Đường phân giác $BE$ ($E\in AC$) của $\triangle ABC$ cắt $AH$ tại $K$. Chứng minh $BA.BK=BH.BE$.
3. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $BE$ cắt $BE$ tại $D$ và cắt $AB$ tại $I$. Chứng minh tam giác $IAD$ cân và $IA.AB=2AD.ID-AI^2$.