Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) làm vectơ pháp tuyến. Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) là \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Đi qua điểm \(M(3;-1;2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}=(1;-3;2)\) làm vectơ pháp tuyến.
2. Đi qua điểm \(N(3;-1;2)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(-1;-3;-2)\) và \(\overrightarrow{b}=(4;5;-1)\).
3. Đi qua 3 điểm \(A(0;1;-2)\), \(B(4;1;-3)\), \(C(5;-1;1).\)
4. Đi qua điểm \(M(3;-1;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua 2 điểm \(A(0;2;4)\) và \(B(2;8;-10).\)

Bài 2. Cho 4 điểm \(A(-1;-2;-3)\), \(B(1;3;2)\), \(C(5;0;1)\), \(D(3;-4;3)\).

1. Chứng minh ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.
2. Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\).
3. Chứng minh bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.
4. Tính độ dài đường cao kẻ từ \(D\) của tứ diện \(ABCD\).
5. Tính diện tích tam giác \(ABC.\)
6. Tính thể tích của tứ diện \(ABCD.\)

Bài 3. Cho ba điểm \(M(3;-1;3)\), \(N(4;1;-2)\), \(P(4;0;2)\).

1. Tính số đo góc \(M\) của tam giác \(MNP\).
2. Tính diện tích tam giác \(MNP.\)

Bài 4. Cho hai điểm \(A(1;3;-2)\), \(B(4;5;8)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Bài 5. Cho tam giác \(ABC\) biết \(A(1;4;-5)\), \(B(2;3;-6)\), \(C(4;4;-5)\). Tìm toạ độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).