Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa

Đường thẳng $d$ gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$.

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ta chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ nằm trong $(P)$.

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA \perp (ABCD)\).

1. Chứng minh \(BC \perp (SAB)\) và \(CD \perp (SAD)\).
2. Chứng minh \(BD \perp (SAC)\) và \(BD \perp SC.\)
3. Chứng minh \(AD \perp SB\) và \(SD \perp AB.\)
4. Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên đường thẳng \(SB.\) Chứng minh \(SC \perp AH\).
5. Gọi \(K\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên đường thẳng \(SD.\) Chứng minh \(SC \perp AK\) và \(SC \perp (AHK)\).
6. Chứng minh \(HK \parallel BD\).
7. Gọi \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((AHK)\). Chứng minh \(HK \perp AQ\).
8. Cho \(SA=a\sqrt{3}\), \(AB=a\). Tính theo \(a\) độ dài các đoạn thẳng: \(SB, SD, SC, AH, AK, HK, AQ\).
9. Tính theo \(a\) diện tích tứ giác \(AHQK\).

Ví dụ 2. Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Trên đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \((ABCD)\) lấy điểm \(S\) (không trùng với \(O\)). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\).

1. Chứng minh \(SA=SB=SC=SD\).
2. Chứng minh \(CD \perp (SOM)\).
3. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(SM\). Chứng minh \(OH \perp (SCD)\).
4. Cho \(AD=a\sqrt{3}\), \(SO=\dfrac{a}{2}\). Tính \(OH\).

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA \perp (ABC)$.

1. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.
2. Gọi $H$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $BH \perp AC$. Chứng minh $BH \perp SC$.
3. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SC$. Chứng minh $SC \perp (BHK)$.
4. Cho $SA=a$, $AC=2a$, $\widehat{ACB}=30^\circ$. Tính $BH$, $HK$, diện tích tam giác $BHK$.
5. Vẽ $AI$ vuông góc với $SC$ tại $I$. Chứng minh $BI \parallel SA$.

Câu hỏi lý thuyết

https://drive.google.com/file/d/1XbXwZkdi24TCQHJaamaoV2XrPS55BmFY/view?usp=drive_link

Bài tập

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA, AB, AC$ đôi một vuông góc. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $SBC$. Chứng minh $AH \perp (SBC)$.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp(ABC)$ và đáy là tam giác nhọn. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trực tâm của $\triangle ABC$ và $\triangle SBC$. Chứng minh $HK \perp (SBC)$.