Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Lý thuyết

Tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong \((C)\) và điểm \(M_0\) thuộc \((C)\). Lấy một điểm \(M\) thay đổi trên \((C)\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua hai điểm \(M_0\) và \(M\). Khi cho điểm \(M\) dần về điểm \(M_0\) rồi dừng lại thì đường thẳng \(d\) quay quanh \(M_0\) và dừng lại ở vị trí trùng tới đường thẳng \(d_0\). Đường thẳng \(d_0\) gọi là tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(M_0\). Điểm \(M_0\) gọi là tiếp điểm.

Ta đã biết tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn. Tuy nhiên tiếp tuyến của đường cong tổng quát có thể cắt đường cong đó tại nhiều hơn một điểm.

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và có hệ số góc \(k\) là
\[y=k(x-x_0)+y_0\]

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho \((C)\) là đồ thị của hàm số \(y=f(x)\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\) có hệ số góc là \(f'(x_0)\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Áp dụng công thức phương trình đường thẳng ở trên và ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\) là:
\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\]

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho \((P)\) là parabol có phương trình \(y=f(x)=x^2\) và \(M\) là điểm thuộc \((P)\) có hoành độ bằng \(-2\). Gọi \(d\) là đường tiếp tuyến của \((P)\) tại \(M\).

Tính tung độ của \(M\).
Tính hệ số góc của \(d\).
Viết phương trình của \(d\).

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2+x-2\) tại giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\).

Bài tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\) tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{1}{3}\).

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y=f(x)=x^2-4x+1\) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=2\).

Bài 3. Tìm toạ độ tiếp điểm biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2-2x\) tại tiếp điểm đó đi qua điểm \(A(4;4)\).