Tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Các cách tính tích vô hướng

1. Dùng định nghĩa: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\)
2. Tùng quy tắc chen điểm, công thức trung điểm, trung tuyến, dùng tính chất phân phối của tích vô hướng để biến đổi biểu thức cần tính thành biểu thức đơn giản hơn. Trong quá trình tính ta khai thác tích vô hướng của hai vectơ vuông góc thì bằng 0.

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) biết \(AB=BC=1\), \(AE=\sqrt{2}\). Mỗi ý sau là đúng hai sai?

1. \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}=0\)
2. \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DG}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
3. \(\cos\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BE}\right)=1\)
4. \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DG}=1\)

Ví dụ 2. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

1. \(\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{A'C'}=2a^2\)
2. \(\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{BB'}=0\)
3. \(\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BD}=a^2\)
4. \(\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{CC'}=a^2\)

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả cạnh bằng \(a\). Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

1. \(\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}{2}\)
2. \(\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\)
3. \(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0\)
4. \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2\)

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả cạnh bằng \(a\). Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

1. \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{BC}\right)\)
2. \(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{SD}=-\dfrac{a^2}{2}\)
3. \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{SC}=0\)
4. \(\cos\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{SD}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)