Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là gì?
- Cho biểu thức $f(x)$, khi $x$ thay đổi trong tập hợp $D$, có số $m$ để $f(x) \ge m$ với mọi $x$ thuộc $D$, đồng thời tồn tại số $x_0$ thuộc $D$ để khi $x=x_0$ thì $f(x_0)=m$. Ta nói giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ khi $x$ thay đổi trên $D$ là số $m$. Người ta thường kí hiệu $m = \mathop {\min }\limits_D f(x)$.
- Tương tự, cho biểu thức $f(x)$, khi $x$ thay đổi trong tập hợp $D$, có số $M$ để $f(x) \ge M$ với mọi $x$ thuộc $D$, đồng thời tồn tại số $x_0$ thuộc $D$ để khi $x=x_0$ thì $f(x_0)=M$. Ta nói giá trị lớn nhất của $f(x)$ khi $x$ thay đổi trên $D$ là số $M$. Người ta thường kí hiệu $m = \mathop {\max }\limits_D f(x)$.
Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất biểu thức $f(x)$ trên $D$ ta phải tìm số $M$ như trên (có khi phải dự đoán) rồi chứng minh hai ý:
(I): $f(x) \le M$ với mọi $x$ thay đổi trên $D$.
(II): Tìm được số $x_0$ thuộc $D$ sao cho $f(x_0)=M$.
Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f(x)=2x^2-1$ khi $x$ thay đổi trong tập số thực.
Giải.
- Với mọi số thực $x$ ta có $x^2 \ge 0$, do đó $2x^2 -1 \ge -1$.
- $f(0)=-1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là $-1$ (đạt được khi $x=0$).
- Log in to post comments