1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn \(x^2-2xy+3y-5x+7=0.\)

Lý thuyết

Với \(a, b, c\) là ba cạnh của tam giác ta có

• \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)
• \(|a-b|<c\), \(|b-c|<a\), \(|c-a|<b\)

Bài tập

Bài 1. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(3\). Chứng minh rằng
\[3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13.\]

Lý thuyết

• Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) vuông góc khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\).
• Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) cùng phương khi có số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}\).

Bài tập

1. Cho hai điểm \(A(3;-1;3)\) và \(B(3;1;0)\).

1. Cho các biểu thức $A=7x+4y$ và $B=9x+10y$. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên $x$, $y$ thỏa mãn $A$ chia hết cho $17$ thì $B$ cũng chia hết cho $17$.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bài 1. Cho các số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh
\[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{3a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b+a}}\right)\le 2\]

Bài 1. Cho $0<x<2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{8}{x}.\)

Lý thuyết

Trong không gian \(Oxyz\), hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) vuông góc khi và chỉ khi \[a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\]

Bài tập

Bài 1. Tìm số thực \(m\) sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;-2;3)\) và \(\overrightarrow{b}=(m;m-1;1)\) vuông góc.

Bài 2. Cho hai điểm \(A(-1;1;2)\) và \(B(3;1;2)\). Tìm toạ độ điểm \(C\) thuộc trục \(Oy\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).

Lý thuyết

Định lý Pitago thuận

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Định lý Pitago đảo

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lý thuyết

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số có dạng \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

Dưới đây là một số chú ý về số chính phương

1. Chứng minh rằng số chính phương chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
2. Tìm số tự nhiên n sao cho $2^n+15$ là số chính phương.
3. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+4$ là số chính phương.
4. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+444$ là số chính phương.
5. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+63$ là số chính phương.