Bài 6. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC).$ Gọi $D$ là trung điểm $BC.$ Kẻ $DE \perp AB$ tại $E$, $DF \perp AC$ tại $F.$

Lý thuyết

Cho trước điểm $M$ và vectơ $\overrightarrow{u}$. Khi đó có duy nhất điểm $M$ thoả $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$.

Bài tập

1. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
2. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}$.
3. Cho đoạn thẳng $AB$, xác định điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$.

Định nghĩa

Tính chất

Dấu hiệu nhận biết

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $AM$ là đường trung tuyến.

1. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.
2. Từ $M$ vẽ $MK$ vuông góc với $AB$ $(K\in AB)$, $MN$ vuông góc với $AC$ $(N\in AC)$. Chứng minh  $AKMN$ là hình chữ nhật.
3. Chứng minh $KMCN$ là hình bình hành.
4. Vẽ $AH$ vuông góc với $BC$. Chứng minh $KHMN$ là hình thang cân.

Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$. Hàm số $y=f(x)$ gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim\limits_{x\to x_0}=f(x_0)$. Hàm số không liên tục tại điểm $x_0$ gọi là gián đoạn tại $x_0$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường phân giác $AD$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $E$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $F$. Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình vuông.

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ lần lượt lấy các điểm $E$, $F$, $G$, $H$ sao cho $AE=BF=CG=DH$. Chứng minh tứ giác $EFGH$ là hình vuông.

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn \(x^2-2xy+3y-5x+7=0.\)

Lý thuyết

Với \(a, b, c\) là ba cạnh của tam giác ta có

• \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)
• \(|a-b|<c\), \(|b-c|<a\), \(|c-a|<b\)

Bài tập

Bài 1. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(3\). Chứng minh rằng
\[3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13.\]

Lý thuyết

• Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) vuông góc khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\).
• Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)\) cùng phương khi có số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}\).

Bài tập

1. Cho hai điểm \(A(3;-1;3)\) và \(B(3;1;0)\).

1. Cho các biểu thức $A=7x+4y$ và $B=9x+10y$. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên $x$, $y$ thỏa mãn $A$ chia hết cho $17$ thì $B$ cũng chia hết cho $17$.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bài 1. Cho các số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh
\[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{3a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b+a}}\right)\le 2\]