Hàm số liên tục

Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$. Hàm số $y=f(x)$ gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim\limits_{x\to x_0}=f(x_0)$. Hàm số không liên tục tại điểm $x_0$ gọi là gián đoạn tại $x_0$.

Ví dụ.

1. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned}&x^2+1& \text{nếu }&x>1\\& -x& \text{nếu }&x\le 1\end{aligned}\right.$ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=1$.
2. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{3x^2-4x+1}{1-x^2}& \text{nếu }&x\ne1\\ &\dfrac{2}{5}& \text{nếu }& x=1 \end{aligned}\right.$ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=1$.
3. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{x^2-4}{x-2}& \text{nếu }&x\ne2\\ &a& \text{nếu }& x=2 \end{aligned}\right.$ Tìm giá trị của $a$ để hàm số liên tục của hàm số tại điểm $x_0=2$.

Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn

Định nghĩa (SGK)

Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Định lý (SGK)

Tính liên tục của hàm tổng, hiệu, tích, thương

Định lý (SGK)

Ví dụ 1. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề

1. Hàm số $y=\dfrac{1}{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
2. Hàm số $y=\dfrac{x^2+2}{x-1}$ liên tục trên $(1;+\infty)$.
3. Hàm số $y=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
4. Hàm số $y=\sqrt{1-x}$ liên tục trên $(-\infty;0)$.