đạo hàm của hàm hợp

1. Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Tính $f'(1-2x)$.
2. Cho hàm số $y=f(x)$ biết $f'(4)=3$ và hàm $g(x)=3x^2+1$. Tính $f'\left(g(-1)\right)$.
3. Cho hàm số $f(x)=e^{-x^2}$ và $g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$. Tính $g'\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Lý thuyết

Cho hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại mọi $u \in (\alpha; \beta)$ và hàm số $u: (a;b) \to (\alpha; \beta)$,  $u=g(x)$ có đạo hàm tại mọi $x\in (a;b)$. Khi đó hàm $f(g(x))$ có đạo hàm tại mọi $x\in (a;b)$ và \[\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x)).g'(x)\]

Áp dụng quy tắc trên với hàm $f(u)=\sqrt{u}$ ta có $\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}.g'(x)$. Từ đó ta có bảng đạo hàm của hàm hợp (cột bên phải) trong SGK