Biểu thức toạ độ của tích vô hương trong mặt phẳng Oxy

Lý thuyết

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ được tính bởi \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2.\]

Điều kiện hai vec tơ vuông góc

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0.\)

Độ dài của vec tơ

Bình phương vô hương của $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{a}^2=a_1^2+a_2^2.$

Từ đó ta có độ dài của vec tơ $\overrightarrow{a}$ là \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\)

Độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Ta đã biết $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ cũng là độ dài của vec tơ $\overrightarrow{AB}$ nên \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Góc giữa hai vec tơ

\[\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\]

Bài tập

Bài 1.

1. Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(4;3)$ và $\overrightarrow{b}=(-3;4)$ có vuông góc nhau không?
2. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(1;\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{b}=(1;0)$.
3. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(1;\sqrt{2})$ và $\overrightarrow{b}=(1;\sqrt{3})$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $A(-2;-4)$, $B(-5;2)$, $C(1;-2)$.

1. Tính độ dài các cạnh của $\triangle ABC$.
2. Tính cosin của góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$.
3. Tính $\sin C$.
4. Tính diện tích tam giác $ABC$.
5. Tính độ dài đường cao $CH$ của $\triangle ABC$.
6. Tìm toạ độ điểm $H$.

Bài 3.

1. Hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(3;-1)$ và $\overrightarrow{b}=(1;3)$ có vuông góc nhau không?
2. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(1;3)$.
3. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}=(1;0)$ và $\overrightarrow{b}=(1;1)$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $A(2;3)$, $B(5;-1)$, $C(2;-2)$.

1. Tính chu vi $\triangle ABC$.
2. Tính cosin của góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
3. Tính $\sin A$.
4. Tính diện tích tam giác $ABC$.
5. Tính độ dài đường cao $AH$ của $\triangle ABC$.
6. Tìm toạ độ điểm $H$.